नमस्कार दोस्तों Abexpert study में आप सभी का स्वागत है।आज हम Binomial Theorem द्विपद प्रमेय के सूत्र एवं महत्वपूर्ण तथ्य का विस्तार से जानकारी दी गयी है | जिससे PGT,TGT ,UPPCS एवं विभिन्न परीक्षाओं में प्रश्न पूछे जाते है। जिन प्रश्नो की जानकारी इस Article में उदाहरण द्वारा समझाया गया है । जिसका परीक्षार्थी अध्ययन करके सफलता प्राप्त कर सकते है।
-:विषय सूचि:-
1 -द्विपद प्रमेय किसे कहते है ?
2-द्विपद प्रमेय के सूत्र एवं महत्वपूर्ण तथ्य
3 - किसी भी घातांक (Any index )के लिए द्विपद प्रमेय
4 -उदाहरण
5 -निष्कर्ष
1 -द्विपद प्रमेय किसे कहते है ?
आज द्विपद प्रमेय के विषय में जानकारी दी गयी है। जिस किसी व्यंजक में दो पद होते है उसे द्विपद व्यंजक कहलाते है। जैसे -(x +a ) , (x -a )(4x +6y ) (x + 3 /y ) आदि द्विपद व्यंजक है।
द्विपद व्यंजक का व्यापक रूप (x +a) है ,यदि n एक धनात्मक पूर्णांक अथवा प्राकृतिक संख्या है। तब
( x + a )n = nC0 x n + nC1 xn-1 a + nC2 xn-2 a2+ ----+ nCr xn-r ar +nCn-1 x an-1 +
nCn x an
2-द्विपद प्रमेय के सूत्र एवं महत्वपूर्ण तथ्य :-
सूत्र 1- ( x + a )n = nC0 x n + nC1 xn-1 a + nC2 xn-2 a2+ ----+ nCr xn-r ar +nCn-1 x an-1 + nCn x an
सूत्र 2- यदि a के स्थान पर -a रखने पर विस्तार ,अतः
( x - a )n = nC0 x n - nC1 xn-1 a + nC2 xn-2 a2+ ----+(-1 )r nCr xn-r ar +nCn-1 x an-1 +(-)n an
सूत्र 3 -
( 1 + x )n = 1 + nC1 x + nC2 x2 + ----+ nCr xr + ------ +x n
सूत्र 4 -
( 1 + x )n = 1 - nC1 x + nC2 x2 + ----+(-1 r n Cr xr + ------ + (-1 ) n x n
( x + a )n के विस्तार में महत्वपूर्ण तथ्य -
(1 )-यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है ,अर्थात n >0 ,तो ( x + a )n के विस्तार में पदों की संख्या परिमित (Finite)तथा n +1के बराबर होगी
(2 )- प्रथम ,द्वितीय तृतीय और चतुर्थ पदों के गुणांक क्रमशः nC0 nC1 nC2 तथा nC3 है।
(3) प्रत्येक पद में x का घातांक , उसके गुणांक ( मान nCr ) में ऊपर वाली राशि ( n ) व नीचे वाली राशि( r )के अन्तर (Difference ), (n -r ) के बराबर तथा a का घातांक नीचे वाली राशि r के बराबर होता है।
(4 )- प्रत्येक पद में c का अनुलग्न (Suffix )पद 1 कम है।
(5 )- प्रत्येक पद में x व a के घातांको का योगफल सदैव द्विपद व्यंजक के घातांक के बराबर होता है।
(6 )-आरम्भ और अंत से समान दूरी पर स्थित पदों के गुणांक बराबर होते है।
(7) - विस्तार में प्रथम और अन्तिम पदों का गुणांक इकाई अर्थात 1 होता है |
(8) x और a की घातों का योग प्रत्येक पद में n है।
5 -( x + a )n के विस्तार विस्तार में व्यापक पद -
( x + a )n के विस्तार में (r +1 )वें पद को व्यापक पद कहते है।
अतः व्यापक पद अर्थात (r +1 ) वां पद
T r +1 = nCr xn-r ar
= n ！.x n-r a r ／ r ！( n -r )！
= n (n- 1) (n-2 ) (n -3) -----( n-r +1) . x n-r a r ／r！
(a ) यदि सम संख्या है तो मध्य पद = n /2 +1
T r/2 +1 = nCn /2 xn/2 an /2
(b ) यदि विषम संख्या है तो मध्य पद = ( n +1 / 2) वां तथा n +3/2 ) वां पद
T r +1/ 2 = nCn-1 /2 xn+ 1 /2 an-1 /2
T r +3 / 2 = nCn+1 /2 xn- 1 /2 an+1 /2
नोट - 1 + x )n यदि n विषम संख्या है तो दोनों पदों का गुणांक बराबर (संख्यात्मक मान में ) होते है।
3 - किसी भी घातांक (Any index )के लिए द्विपद प्रमेय -
(1) - यदि n कोई धनात्मक पूर्णांक नहीं है ,अर्थात n कोई ऋणात्मक पूर्णांक अर्थात भिन्न है तो गुणनखण्डों n -1 ,n -2 ,n -3 में से कोई भी शून्य के बराबर नहीं होगा , अतः विस्तार में पदों की संखि अनन्त होगी।
(2)- घातांक n के किसी भी धन ,ऋण अथवा भिन्नात्मक मान के लिये यदि x <1 हो ,तो
सूत्र 1-
( 1 + x )n = 1 + n x + n(n-1). x2 ／2！+ ----+ n (n-1)------(n -r +1)xr ∕ r！ + ------
सूत्र 2-
( 1 + x ) - n = 1 -n x + n(n-1). x2／2+ ---- +(-1) rn n (n-1)(n+2)------(n -r +1)xr ∕ r！ + -----
सूत्र 3- के विस्तार में व्यापक पद (n +1) वां पद
T r +1 =n (n- 1) (n-2 ) (n -3) -----( n- r +1) . xr ／r！
स्मरणीय तथ्य -
➜ ( 1 + x )n के विस्तार में पदों के गुणांकों का योगफल
nC0 + nC1 + nC2 + nC3 ----+ nCn = 2n
➜ ( 1 + x )n के विस्तार में समपदों के गुणांकों का योगफल ,विषम पदों के योगफल के बराबर होता है
nC0 + nC 2 + nC4 +------- = nC1 + nC3 +nC5 +-------- = 2n-1
➜ nCr = Cr = n！／r ！(n-1)！
उदाहरण 1- ( 3x + 2y )4 के विस्तार ज्ञात कीजिए
(a ) 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
(b) 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
(c) 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
(d) 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
हल - ( 3x + 2y )4 = (3x)4 + 4C1 (3x)4-12y + 4C2 (3x)4-2 (2y)2 +
4C3 (3x)4-3 (2y)3 + 4C4 (3x)4-4 (2y)4
=>(3x)4 + 4C1 (3x)32y + 4C2 (3x)2 (2y)2 +
4C3 (3x)1 (2y)3 + 4C4 (3x)0 (2y)4
=> 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
नोट- nCr = n！／r ！(n-1)！और nCn = 1
∴ 4 C1 = 4 ！／1 ！(4 -1)！ = 4 ！／3 ！= 4 x 3 ／3 ！= 4
4 C2 = 4 ！／2 ！(4 -2 )！ = 4 ！／2 ！2 ！= 4 x 3 x 2 x 1 ／2 x 1 x 2 x 1 = 6
4 C3 = 4 ！／3 ！(4 -3 )！ = 4 ！／3 ！1 ！= 4 x 3！ ／3！ 1！ = 4
4 C4 = 1
अभीष्ट उत्तर => (a ) 81 x4 +216x3y + 216x2y2 + 96xy3 + 16y4
उदाहरण 2 - ( 3x + 2y )30 के विस्तार में पदों की संख्या होगी -
(a ) 31
(b) 30
(c) 35
(d) 32
हल -
( 3x + 2y )30 के विस्तार में पदों की संख्या
=> 30+1=31
अभीष्ट उत्तर =>(a) 31
उदाहरण 3- (x - 1/x ) )10 के विस्तार में मध्य पद होगा -
(a ) -252
(b) -232
(c) -208
(d) -224
हल- (x - 1/x ) )10 के विस्तार में मध्य पद
दिया n =10
∴ विस्तार में पदों की संख्या = 10 +1 =11
अतः विस्तार में मध्य पद = 1/2( n+1) वां पद (क्योकि n सम है )
= 1/2(10+1)वां पद
= 6 वां पद
सूत्र -T r/2 +1 (x - 1/x ) )10 = nCn /2 xn/2 an /2
(x - 1/x ) )10 = 10 C10 /2 x10/2 ( -1/x)10 /2
=10 C5 x5 ( -1/x)5
= - 10x9x8x7x6／ 1x2x3x4x5
= - 252
अभीष्ट उत्तर =>(a ) -252
उदाहरण 4 - (x/2 - 3/x2 ) )10 के विस्तार में x4 का गुणांक है -
(a ) 405/256
(b) 504/259
(c) 450/263
(d) 342/405
हल- (x/2 - 3/x2 ) )10
मान( r +1)वे पद में x4 आता है।
तब ( r +1)वां पद
= 10 Cr (x/2)10-r ( -3/x2)r
= (-1)r 10 Cr x 3r/10- r x (x)10-3r
यदि इस पद में x4 आता है, तब 10-3r =4 या r =2
∴ x4 का अभीष्ट गुणांक =(-1)2 10 C2 . (x/2)10-2 . ( -3/x2)2
= (-1)2 10 C2 .32 / (2)8
= 10x9/1x2 x 9/2x2x2x2x2x2x2x2
=405/256
अभीष्ट उत्तर =>(a ) 405/256
उदाहरण 5 - C1 + 2C2 + 3C3 + ----+ nCn का मान होगा।
(a ) n2n
(b) n . 2n-1
(c) 2n
(d)n . 2n- 2
हल- बाया पक्ष C1 + 2C2 + 3C3 + ----+ nCn
=> n + 2 n (n-1)／2！ +3 n (n-1) (n-2)／3！ + --------+ n
=> n [ 1+ (n -1) + (n-1)(n-2) +-------+ ]
=> n [ n-1C0 + n-1C1 + n-1C2 ----+ n-1Cn-1
=> n (1+1)n-1
=>n 2n-1
अभीष्ट उत्तर =>(b) n . 2n-1
उदाहरण 6-(1 +x +x2 + x3 +------------∞) 5 के विस्तार में x 11 का गुणांक होगा -
(a )1364
(b) 1365
(c)1366
(d) 1367
हल- (1 +x +x2 + x3 +------------∞) 5 [(1 - x )-1 ]5
= (1 - x )-5
कल्पना की कि के विस्तार का (r +1)वां पद cx 11 का गुणांक है
∴ cx 11 = (1 - x )-5 के विस्तार का( r +1)वां पद
=(-5)(-5-1)(-5-2)-----(-5 - (r-1) (-x)r ∕ r ！
= दोनों पक्षों में x के घातांक बराबर रखने पर r =11
∴ x 11 का गुणांक =c
=(-5 )(-6)(-7)-------(-5-10). (-1) 11 ／ 11！
=(-1)22 5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15 ／11
= 1365
अभीष्ट उत्तर =>(b) 1365
उदाहरण 7 - (1 -2x +3x2 - 4 x3 +------------∞) -n के विस्तार में x n का गुणांक होगा-
(a ) 2n ！∕ ( n ！)2
(b)n ！∕ ( 2n ！)2
(c)2n ！∕ ( n )2
(d) 2n ！∕ ( n +1)！2
हल - (1 -2x +3x2 - 4 x3 +------------∞) -n = {(1 +x)-2 } -n
=(1 +x)2n
(1 +x)2n के विस्तार के (n + 1)वें पद में x n आता है -
∴ (n +1) वां पद
= 2n (2n-1)( 2n-2)------(2n-n+1) x n ／n ！
=2n (2n-1) (2n -2) -----(n+1) n！ x n ／ n！ n！
= (2n ！) ∕ ( n ！)2 .xn अंश और हर को n！ से गुणा करने पर
= 2n ！∕ ( n ！)2
अभीष्ट उत्तर => (a ) 2n ！∕ ( n ！)2
उदाहरण 8 - यदि (1 +x )43 के विस्तार में ( 2r +1) वें और (r +2) वें पदों के गुणांक बराबर हो ,तो r का मान होगा -
(a )14
(b) 15
(c)13
(d) 16
हल - (1 +x )43 के विस्तार में ( 2r +1) वें पद का गुणांक = 43 C2r
तथा (r +2 ) वें पद का गुणांक = { (r +1 )+1 }वें पद का गुणांक = 43 Cr+1
प्रश्नानुसार , 43 C2r =43 Cr+1
∵ n Cr = n Cn +r
तब 2r = 43 -(r +1 ) या 3r =42 => r =14
अभीष्ट उत्तर =>(a )14
5 -निष्कर्ष -
Binomial Theorem द्विपद प्रमेय के सूत्र एवं महत्वपूर्ण तथ्य का विस्तार से जानकारी दी गयी है | PGT,TGT ,UPPCS एवं विभिन्न परीक्षाओं में द्विपद प्रमेय से प्रश्न पूछे जाते है। जिसका आप अध्ययन करके परीक्षा में सफलता प्राप्त कर सकते है यदि आपको इस लेख में शामिल किये प्रश्न एवं उत्तर अच्छे लगे हो , तो आप अपने दोस्तों को share करे और Like करें।
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