वृत्त किसे कहते हैं उसके प्रगुण:- 

प्रियः  परीक्षार्थियों एवं पाठको Ab expert study  में आपका स्वागत है । आज इस Article  के माध्यम  से  ऐसे अनेक वस्तुएँ के विषय में जानेगे। जिनका आकर सूर्य ,चन्द्रमा ,सिक्के की आकृत के समान है उसे क्या कहते है।   अर्थात वृत्त किसे कहते है ,उनके प्रगुण का अध्ययन करेंगे। 

Table  of  content (Hindi)  

1- वृत्त  किसे कहते है ?

2 -अर्धवृत्त का कोण 

3  -अन्तर्गत कोण 

-

4  -केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दूना होता है.| 

5 - परिधि पर बना कोण केन्द्र प्र्ब्ने कोण का आधा होता है। 

6- एक वृत्त खंड के कोण में सम्बन्ध 

 

 वृत्त  किसे कहते है ?

किसी समतल पर निश्चित बिंदु के चारो ओर खींची गयी आकृत को वृत्त कहते है। उस निश्चित बिंदु को वृत्त का केन्द्र 

कहते है तथा उस दुरी को  त्रिज्या कहते है। वृत्तका केन्द्र  O है तथा वृत्त त्रिज्या OP है। 

व्यास किसे कहतेहै ?  
   

त्रिज्या का दो गुना व्यास  होता है।उपर्युक्त चित्र में AB वृत्त का व्यास है। 

   व्यास =  2 x  त्रिज्या 

 वृत्त की जीवा :-   वृत्त में परिधि से किन्ही दो बिन्दुओ को मिलाने वाली रेख खंड को जीवा कहते है। वृत्त की सबसे बड़ी जीवा को व्यास कहते है। जो चित्र में AB सबसे बड़ी जीवा है।

अर्धवृत  किसे कहते है ? :-

व्यास वृत्त को दो समान भगो में विभक्त करता है ें इन प्रत्येक भाग को अर्धवृत कहते है उपर्युक्त चित्र में ACB तथा ADB अर्धवृत है। 

वृत्त खण्ड किसे कहते है ?

सभी जीवा वृत्त को दो भागो में विभक्त करती है विभाजित किये प्रत्येक भाग को वृत्त खण्ड कहते है।

त्रिज्यखंड किसे कहते है?  

किसी  वृत्त के चाप और उसके केंद्र बिंदु से मिलाने वाली रेखा को त्रिज्यखंड कहते है। 

वृत्त का  चाप किसे है?

वृत्त के किसी भाग को चाप कहते है उपर्युक्त चित्र में PB ,ACB एवं BD  सभी ब्रक एक चाप है। 

चाप =  त्रिज्या X  कोण  

वृत्त की परिधि किसे कहते है ?

समतल पर किसी बिंदु को केंद्र मान कर समान त्रिज्या से काटे गये  चाप से निर्मित वृत्त की कुल लम्बाई को परिधि कहते है। 

  वृत्त की  परिधि = 2π  r = π x व्यास 

जहाँ r  त्रिज्या है. 

वृत्त का क्षेत्रफल किसे कहते है ?

 किसी समतल पर किसी बिंदु को केंद्र मान कर समान त्रिज्या से चारो तरफ खींची गयी आकृत को वृत्त कहते है खींची गयी आकृत जितनी  स्थान  घेरती है उसे वृत्त का क्षेत्रफल कहते है। 

वृत्त का क्षेत्रफल =  π  r2  

वृत्त की त्रिज्या  =व्यास / 2 =परिधि /2 π 

वृतीय माप किसे कहते है?  

एक वृत्त के केंद्र पर वृत्त की त्रिज्या के समान लम्बाई के चाप से बने कोण का मान 1 रेडियन होता है और इसे 1^c   से प्रदर्शित करते है। 

  1^c  =   π =180 °  =दो (समकोण )

अर्धवृत्त का कोण :-

अभी आपने वृत्त किसे कहते है तथा वृत्त के कुछ Important  तथ्यों के विषय में जाना है.आगे अर्धवृत के कोण के बारे में जानेगे।   निचे दी गयी आकृत में वृत्त का figure -1 है, जिसका केन्द्र O है। इसका व्यास  AOB है। वृत्त पर एक बिंदु C है। C को  A और B से मिलाया गया है। 

अर्धवृत ACB में व्यास AB केद्वारा अर्धवृत केबिंदु C पर बने कोण को ㄥACB  के नाम से जानते है। 

ㄥACB को अर्धवृत काकों कहते है 

इस प्रकार ,किसी वृत्त के व्यास द्वारा वृत्त के किसी बिंदु पर बने कोण को अर्धवृत कोण कहते है। 

वृत्त के व्यास द्वारा अर्धवृत्तं के किसी बिंदु पर बना कोण समकोण होता है। 

ㄥACB =90  =1 समकोण 

अर्धवृत  के अंशमाप180°  तथा वृत्त की अंशमाप 360°  होता है  

अन्तर्गत कोण :-   

दिये गये चित्र में ㄥA का शीर्ष वृत्त का एक बिंदु तथा इस कोण की दोनों भुजाएँ वृत्त को दो अलग -अलग बिंदु पर कटती है। इस प्रकार का बना ㄥA अंतर्गत कोण कहलाता है। इसे इस रूप में भी कह सकते है।

 

 कोई कोण वृत्त का अन्तर्गत कोण होता है यदि उस कोण का शीर्ष वृत्त का एक बिंदु हो तथा उस कोण की भुजाएँ वृत्त को अलग -अलग बिन्दुओ पर कटती है। 

केन्द्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दूना होता है|:- 

उपर्युक्त आकृत में O  केंद्रवाले वृतो पर दो कोण ㄥAOMऔर  ㄥACM  है। 

बिंदु A और B का चाप AB का मध्य बिंदु M है तो इस प्रकार ㄥAOM दो बराबर कोण ㄥAOM और ㄥMOB में विभाजित है

इस प्रकार 🛆AOM =🛆 MOB है क्योकि OA = OB

अतः ㄥAOM= ㄥMOB =1 /2 ㄥAOB 

 ∴  ㄥACB=ㄥAOM

परन्तु ㄥAOM=1/2ㄥAOB

 ∴ ㄥACB=1/2ㄥAOM🛆🛆

इसी प्रकार दूसरे चित्र में 

ㄥACB= 1/2ㄥAOM

इस प्रकार हम कह सकते है कि ,

वृत्त के केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दूना होता है|  

                                        या 

वृत्त की परिधि पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है। 

 एक वृत्त खंड के कोण में सम्बन्ध :-

उपर्युक्त चित्र में 🛆MON और  🛆MPN (क्योकिं OP =PN )

इस प्रकार ㄥMON=ㄥMON

अतः हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते है कि ,

एक ही वृत्तखंड के कोण समान होते है 

विभिन्न परीक्षाओं  में पूछे जाने वाले प्रश्नोत्तर :- 

उदाहरण 1- आकृत में तीन बिंदु A,B तथा C  एक वृत्त पर स्थितं है। बिंदु O केंद्र है। यदि ㄥABC =100 ,तो 

ㄥAOC का मान ज्ञात कीजिए। 

हल -  उपर्युक्त  चित्र में चाप AYC द्वारा केन्द्र O पर वृहत्कोण ㄥAOC तथा वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु B पर  ㄥABC बनता है। 

 ∴ वृहत्कोण ㄥAOC =  2 ㄥABC 

 

परन्तु ㄥABC  = 2 x 100° = 200°  

∴  अधिक कोण ㄥAOC= 360° -200° =160° 

अभीष्ट उत्तर =>ㄥAOC= 160° 

उदाहरण 2 - आकृति में  दो जीवा AB तथा CD तथा एक कोण ㄥABC =30  दिया है तो ㄥ CDA का मान ज्ञात कीजिए। 

हल-   दिया है ㄥABC =30°   तो ㄥCDA ज्ञात करना है। 

ㄥ CDA तथा ㄥABC  (एक ही वृत्तखंड के कोण समान होते है )

∴ ㄥCDA =ㄥABC =30°  

इस प्रकार ㄥCDA =30 ° 

अभीष्ट उत्तर =>ㄥ CDA = 30° 

उदाहरण 3 -आकृति में बिंदु O वृत्त का केंद्र है  रेखा BO D , ㄥAOC  की समद्विभाजक है तथा  ㄥCOD =50 तो ㄥABC का मान क्या होगी ?

हल - दिया है, 🛆ABC में 

AO=OB   (क्योकि एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ है )

ㄥAOD = ㄥCOD =50° 

 ㄥ AOC= ㄥAOD +ㄥCOD 

  

                =  50° +50° =100° 

ㄥABC =1 /2 ㄥAOC  (परिधि पर बना कोण केंद्र पर बने कोण का आधा होता है। )

              =1 /2 x 100° = 50°  

अभीष्ट उत्तर =>ㄥ ABC  = 50°

निष्कर्ष :- 

इस Article  में वृत्त  किसे कहते हैं ?उनके विभिन्न तथ्यों का अध्ययन किया गया। । जो विभिन्न परीक्षाओं में पूछे जाने वाले प्रश्नो को हल करने में सहायक सिध्द होगा  |यदि मेरा Article अच्छा लगा तो Like एवं shere करें। 

धन्यवाद