समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ?, उनके प्रमेय
प्रियः मित्रो , परीक्षार्थियों एवं पाठको Ab expert study में आपका स्वागत है । पिछले Article में
सर्वांगसमता किसे कहते हैं ? तथा सर्वांगसमता के नियम के विषय में विस्तृत से अध्ययन किया था ।
आज प्रस्तुत Article में समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ? तथा उनके प्रमेय के विषय में विस्तार से
अध्ययन करेंगे।
समद्विबाहु त्रिभुज:-
एक त्रिभुज ,जिसकी कम से कम दो भुजाए एक -दूसरे के बराबर हो ,समद्विबाहु कहलाता है। यदि
किसी त्रिभुज की सभी भुजाएँ एक -दूसरे बराबर हो तो वह समबाहु त्रिभुज कहते है। एक समबाहु
त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज के सभी गुणों को संतुष्ट करता है जबकि एक समद्विबाहु त्रिभुज के लिए
एक समबाहु त्रिभुज के सभी गणो को संतुष्ट करना आवश्यक होता है.
जिनकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। तथा तीसरी भुजा भिन्न होती हैं।
जिसकी बराबर भुजाएँ होती हैं, उनके सामने के कोण बराबर होते हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप तीनों भुजाओ का योग= X +X +X
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = a /4 √ 4 b2 -a2
- : प्रमेय1 :-
यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हो ,तो उनके सम्मुख कोण भी बराबर होते है।
प्रमाण (froof):-
दिया है, त्रिभुज ABC में भुजाएँ AB = AC
.png)
सिध्द करना है , ㄥB =ㄥC
रचना - AD को BC पर लम्बवत खीचिए।
प्रमाण - त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD है
AB = AC ( दिया है )
AD = AD ( दोनों में है )
ㄥADB =ㄥADC ( प्रत्येक कोण 90° तथा AD ⊥ BC )
∴ 🛆A B D ≅ 🛆ACD था तो RHS सर्वांगसमता है|
∴ ㄥB =ㄥC यही सिध्द करना था।
-: प्रमेय2 :-
यदि किसी त्रिभुज की दो कोण बराबर हो ,तो उनके सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होते है।
प्रमाण (froof):-
दिया है, त्रिभुज ABC में कोण ㄥB =ㄥC
.png)
सिध्द करना है , AB =AC
रचना - AD को BC पर लम्बवत खीचिए।
प्रमाण - त्रिभुज ABD और त्रिभुज ACD है
ㄥB =ㄥC ( दिया है )
ㄥ ADB =ㄥADC = 90° ( प्रत्येक कोण 90 ° तथा AD ⊥ BC )
AD = AD ( दोनों में है )
∴ 🛆A B D ≅ 🛆ACD था तो A A S सर्वांगसमता है|
∴ AB = AC यही सिध्द करना था।
निम्नलिखित प्रमेय :-
(1 ) समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष पर कोण का समद्विभाजन आधार को दाई और समद्विभाजित करता है।
(2 ) यदि एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ उत्पन्न की जाती है तो इस प्रकार बने बाह्य कोण बराबर होते है।
(3 )एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार का लम्ब समद्विभाजक त्रिभुज के शीर्ष से होकर गुजरता है।
(4 )एक समद्विबाहु त्रिभुज के आधार के मध्य बिंदु और सम्मुख शीर्ष को मिलाने वाली रेखा आधार पर लंबवत होती
है और कोण को शीर्ष पर समद्विभाजित करती है।
उदाहरण 1 :-
नीचे दिये गये चित्र में a ,b ,c कोण का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
दिया है ABC त्रिभुज है ,जिसमें AB , CD के समानान्तर है और AD तिर्यक है।
ㄥCDA = BAD = 36° (वैकल्पिक कोण )
a = 36°
🛆CDE में ,ㄥCEA =दो अन्तः सम्मुख कोणों का योग
ㄥCEA = ㄥECD +ㄥEDCㄥㄥ
= 32° + 36° = 68°
अब 🛆CEA में , CE = CA ( भुजाएँ बराबर हो तो कोण भी बराबर होते है)
ㄥA =ㄥ E या ㄥCAE = ㄥCEA
∴ b =ㄥCEA = 68°
🛆ACE में , b+ c +ㄥCEA = 180° (त्रिभुज के तीनो अन्तः कोनो का योग 180° होता है )
68° + c +68° =180°
c = 44°
अभीष्ट उत्तर => a = 36° ,b = 68° ,c = 44°
उदाहरण 2 :-
नीचे दिये गये चित्र में a ,b ,D कोण का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
🛆ABC में AB = AC
ㄥ ACB=ㄥABC = 80° ( भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
और a + ㄥACB + ㄥABC = 180 °
a = 180° - 160° = 20°
AC कोण A को समद्विभाजित करता है,
इसलिए a = b = 20°
🛆ADC में, AD = DC (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
ㄥ DAC =ㄥ DCA
a = b = 20°
b + c+ a = 180°
c = 180° - 40° = 140°
अभीष्ट उत्तर => a = 20° ,b = 20° ,c = 140°
उदाहरण 3 :-
नीचे दिये गये चित्र में ㄥADC,ㄥABC,ㄥBAC का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
🛆ABC में, किसी पर 180° का कोण बनता है।
तब ㄥACD = 180° - 130° = 50°
AD = DC (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
ㄥACD =ㄥCAD = 50°
ㄥADC = 180° -ㄥACD +ㄥCAD = 180° -50°+50°
= 80°
ㄥADB=1 80°-80° =100°
BD =AD (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
ㄥABC = ㄥDBA= ㄥDAB= 40°
ㄥBAC = ㄥBAD+ ㄥCAD = 40°+50° = 90°
अभीष्ट उत्तर => ㄥADC = 80° ,ㄥABC =40°,ㄥBAC=90°
उदाहरण 4 :-
नीचे दिये गये चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
रचना - 🛆 ABC और 🛆ADC में AD=DC हैं।
चुकि AD = BD (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
ㄥDBA = ㄥDAB = 37°
ㄥBDA = 180° -37° +37° = 86°
ㄥADC =180° - 86° =74
ㄥ BAC 37°+74° +37° = 148°
ㄥX = 180° - 148 =32°
अभीष्ट उत्तर => ㄥX = 32°
उदाहरण 5 :-
नीचे दिये गये चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से
50° +50° = 100°
∴ 180°-100°= 80°
X+X+50°+50°= 180°
2X=180°-100°
ㄥX= 80°/2 = 40°
अभीष्ट उत्तर => ㄥX = 40°
उदाहरण 6 :-
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में AC =BC है CD ,AB को D पर समद्विभाजित करती है और ㄥ CAB =55° है,
तो ㄥDCB और ㄥCBD ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
दिया है ,AC=BC (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से )
ㄥ BAC =ㄥCBA = 55°
ㄥDCB= 180°-55°+55°= 70°/2= 35°
अभीष्ट उत्तर => ㄥDCB = 35°और ㄥCBD=55°
उदाहरण 7 :-
नीचे दिये गये चित्र में LM=LN ,PLN = 110° तो ㄥ LMN और ㄥ MLN का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
दिये गया हैं LM=LN ,PLN = 110° तो
LM=LN (भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से)
ㄥM= ㄥN =70°
ㄥMLN=180° -70° +70° = 40°
ㄥLMN= 70°
अभीष्ट उत्तर => ㄥMLN = 40°और ㄥLMN=70°
उदाहरण 8 :-
नीचे दिये गये चित्र में x का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
ऊपर चित्र मेंभुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से)
त्रिभुज = 180° -42° +42° = 96°
96° +21° =117°
x =180° -117° =63°
अभीष्ट उत्तर =>x = 63°
उदाहरण 9 :-
नीचे दिये गये चित्र में AC = CD , AD = BD और ㄥC = 58°, तो ㄥ CAB का मान ज्ञात कीजिए।
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हल (Solution):-
दिया है , AC = CD , AD = BD और ㄥC = 588°,,
ज्ञात करना है, ㄥ CAB = ?
🛆ACD में 2X +58°, =180°,
2X =180°,-58° = 122°
X= 61°
त्रिभुज =61° +61° +58° =180°
रेखा CDB पर बना कोण= 180° -61° =119°
AD = BD ,(भुजाएँ बराबर है तो कोण भी बराबर होते है ,प्रमेय से)
△ ADB में ,
2X =180°- 119°= 61°
X = 30.5°
ㄥ CAB = CAD +BAD= 91. 5°
अभीष्ट उत्तर => ㄥ CAB = 91. 5°
निष्कर्ष :- प्रस्तुत Article में समद्विबाहु त्रिभुज किसे कहते हैं ? तथा उनके प्रमेय के विषय में विस्तार से अध्ययन किया गया है तथा विभिन्न परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्नो को हल किया गया हैं जो विभिन्न परीक्षाओं के लिये बहुत महत्वपूर्ण एवं उपयोगी है | यदि मेरा लेख अच्छा लगा तो Like एवं shere करें।
धन्यवाद
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