त्रिभुज किसे कहते हैं?और यह कितने प्रकार के होते हैं?

 त्रिभुज, तीन  रेखा  खण्डों से बनी एक सरल आकृति है। इसमें तीन शीर्ष ,तीन भुजाएँ और तीन कोण होते  हैं। 

जिनके अन्तः कोनो कोणों का योग 180 °.होता हैं। उसे त्रिभुज कहते हैं। त्रिभुज का वर्गीकरण भुजाओ और कोणों 

के आधार पर किया जाता हैं। भुजाओं के आधार पर तीन प्रकार के त्रिभुज होते हैं। इनको समबाहु, समद्विबाहु और 

विषमबाहु त्रिभुज कहते हैं। कोणों के आधार पर वर्गीकरण मुख्य तीन प्रकार के होते हैं। जिसे न्यूनकोण 

अधिककोण एवं समकोण त्रिभुज कहा जाता हैं | त्रिभुज के शीर्षलम्ब, लम्बकेन्द्र ,मध्यिकाएँ , केन्द्र्क ,परिकेन्द्र तथा 

महत्वपूर्ण प्रगुण का विस्तार से अध्ययन आगे करेंगे।

                                                                    

                                                    

  भुजाओं के आधार पर त्रिभुज प्रकार :-

भुजाओं के आधार पर निम्न प्रकार के त्रिभुज होते हैं।

  (1 )समबाहु त्रिभुज-     जिनकी तीनों भुजाएँ  बराबर होती हैं ,उसे समबाहु त्रिभुज कहते हैं।  प्रत्येक कोण 

60 °का होता हैं। 

समबाहु त्रिभुज का परिमाप तीनों भुजाओ का योग या 3 x भुजा है। 

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =   √ 3 /4   x  भुजा 

(2 ) समद्विबाहु त्रिभुज-    जिनकी दो भुजाएँ बराबर होती हैं। तथा तीसरी भुजा भिन्न होती हैं।   जिसकी 

बराबरभुजाएँ होती हैं, उनके सामने के कोण बराबर होते हैं। 

समद्विबाहु त्रिभुज  का परिमाप तीनों भुजाओ का योग= X +X +X

 समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =   a /4   √ 4 b2 -a2   

(3)विषमबाहु त्रिभुज-    जिस त्रिभुज की कोई भुजा बराबर नहीं होती है उसे विषमबाहु त्रिभुज कहते है। 

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =  √ s (s -a ) (s -b ) (s -c )

 

जहां a ,b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं। 

  S = a +b+ c / 2

   

कोणों के आधार पर  त्रिभुज  तीन प्रकार:- 

(1 ) न्यूनकोण  त्रिभुज -     जिन त्रिभुज के प्रत्येक कोण न्यूनकोण  होते हैं ,उसे न्यूनकोण  त्रिभुज कहते हैं। जिन 

प्रत्येक कोण 90° से कम होते हैं। और दो कोण का योग सदैव 90° से अधिक होता है। जिनकी दो भुजाओ के वर्गों 

का योग सदैव तीसरी भुजा के वर्ग से बड़ा होता हैं।

 (2 )अधिककोण त्रिभुज - ऐसे  त्रिभुज जिनका एक कोण   90° से  अधिक  होता है। त्रिभुज के अन्तः कोणों का 

योग 180° होता है। किसी भी त्रिभुज का दो कोण अधिक कोण नहीं हो सकता है। जिनके दो कोण न्यून कोण होते 

हैं।

       

(3 ) समकोण त्रिभुज :-    वह  त्रिभुज जिसका कोई एक कोण 90° के बराबर हो , उसे समकोण त्रिभुज कहते है। 

समकोण त्रिभुज में समकोण की सामने वाली भुजा कर्ण कहते है।  शेष दोनों भुजाओं से बड़ी होती है | 

इसका सत्यापन पाइथागोरस प्रमेय द्वारा किया गया है।  

 

 c2  =  a2 +b2  से स्पष्ट है कि c2  > a2    तथा c2  >  b2 , इस प्रकार किसी समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे बड़ी भुजा होती है।  

 त्रिभुज की मध्यिका (Median):- 

त्रिभुज के किसी शीर्ष को उसकी सम्मुख भुजा के मध्य बिंदु से जोड़ने वाली रेखाखण्ड को त्रिभुज की मध्यिका 

कहते है।  

आकृति 1,2,   3 में देखा गया कि  त्रिभुज में तीन मध्यिकाएँ है ,जो बिंदुगामी होती हैं।   

1- एक त्रिभुज में तीन मध्यिकाएँ होती हैं और तीनो मध्यिकाएँ हमेशा समवर्ती होती हैं ,वे एक- दूसरे  को केवल 

एक ही प्रतिच्छेद करती हैं। 

2-मध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिन्दु को त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं।  

3 साथ ही ,त्रिभुज का केन्द्रक प्रत्येक मध्यिका को 2 :1 के अनुपात में विभाजित करता  है।

                                           

 

त्रिभुज का शीर्षलम्ब(Altitude):-  

 किसी त्रिभुज के शीर्ष  सम्मुख भुजा पर डाले गये लम्ब रेखाखण्ड को त्रिभुज का शीर्षलम्ब  कहते हैं। त्रिभुज में तीन शीर्षलम्ब होते हैं। 

1-एक त्रिभुज के तीन  शीर्षलम्ब होते हैं और तीन शीर्षलम्ब हमेशा होते हैं। वे एक दुसरे को केवल एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करते हैं. 

2- त्रिभुज के शीर्षो के प्रतिच्छेद बिन्दु को लंबकेन्द्र कहा जाता हैं।    

 

 

उदाहरण 1:-  उस समकोण त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए,जिसकी दो भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं। 

हल -     पाइथागोरस प्रमेय से 

(कर्ण )² =   (लम्ब )² + (आधार)²

^{(कर्ण )2 =   (8)2 + (15)2}

^{(कर्ण ) 2 =   64 + 225}

^{(कर्ण ) 2   =   289}

कर्ण      = 17

अभीष्ट उत्तर => कर्ण की लम्बाई 17 सेमी हैं।

उदाहरण 2: - त्रिभुज के तीनो कोण  क्रमशः (2x +10) ° (x +20) °औऱ (x -10)° हैं तो यह कौन  कोण का त्रिभुज 

है ? ज्ञात कीजिए। 

हल -      त्रिभुज के तीनो कोण का योग = 180°

 => (2x +10) ° + (x +20) ° +(x -10)°  = 180°

 

 => 4x+20 °  =180° 

 =>   x  =  160° /4 = 40°

त्रिभुज के तीनों = > (80   +10) ° , (40  +20) ° ,(40  -10)° 

                        =>  90° ,  60°,   30°

     अभीष्ट उत्तर =>     समकोण त्रिभुज हैं  | 

उदाहरण3:-  🜂ABC   में ㄥA -ㄥB = 18°   और ㄥB -ㄥC=  12 °     हैं तो सभी कोणों का मान निकाले और कौन त्रिभुज है ?

हल -     त्रिभुज के तीनो कोणों का योग =180°

 =>     ㄥA  = 18° + ㄥB ,      

           

 =>     ㄥC=  12 °  + ㄥB 

         

=>      ㄥA + ㄥB  +ㄥC   =  180° 

 =>  18° + ㄥB +ㄥB  - 12 °  + ㄥB   =  180 ° 

 =>  3  ㄥB + 6°   = 180°

=>     ㄥB    = 180  °/3 = 58°

=> ㄥA =  18° +  58°   =   76°   ,    ㄥC = 58 ° - 12° = 46° 

=>   अभीष्ट उत्तर =>   न्यूनकोण त्रिभुज हैं। 

    निष्कर्ष :-  इस  blogger में  त्रिभुज  किसे कहते है ?त्रिभुज कितने प्रकार के होते है इसका  अध्ययन किया गया है। जो विभिन्न परीक्षाओं के लिये बहुत  महत्वपूर्ण एवं  उपयोगी है |त्रिभुज की अन्य जानकारी हेतु  आगे  के Article अवश्य पढ़े।  यदि मेरा लेख अच्छा लगा तो Like एवं shere करें। 

धन्यवाद