height and distance formula ,height and distance questions

           

                                                              

 height and distance formula ,height and distance questions  (ऊँचाई और दूरी )

आइए हम height and distance formula के अध्ययन करे ,जिससे किसी पर्वत ,खंभा ,पेड़ तथा समुंद्र ,तालाब की ऊंचाई या गहराई ज्ञात की जा सके। जिससे दैनिक जीवन में उपयोग किया जाय। 

उन्नयन कोण (Angle of Elevation ):- माना क्षैतिज रेखा OA के बिंदु O से कोई आदमी किसी लक्ष्य P को देखता है। जब लक्ष्य P को ,क्षैतिज रेखा OA से आदमी ऊपर की ओर देखने पर जो कोण बनता है ,उसे उन्नयन कोण कहते है। 

अवनयन कोण (Angle of Depression  ):- माना क्षैतिज रेखा OA के बिंदु O से कोई आदमी किसी लक्ष्य P को देखता है। जब लक्ष्य P को ,क्षैतिज रेखा OA से आदमी नीचे की ओर देखने पर जो कोण बनता है ,उसे अवनयन  कोण कहते है।

                                                       

उँचाई और दूरी से सम्बन्धित प्रश्नों को हल करने के लिये साधारणतया समकोण त्रिभुज का प्रयोग करते है। यदि समकोण त्रिभुज प्राप्त न हो ,तो sine ,cose के सूत्र का प्रयोग किया जाता है। इन समकोणीय त्रिभुजों की स्थिति के अनुसार यह समस्याए तीन प्रकार की हो सकती है। 

(1 )एक ही समतल पर स्थित समकोण त्रिभुज पर आधारित प्रश्न। 

(2 )भिन्न -भिन्न तलो पर स्थित समकोणीय त्रिभुजों पर आधारित प्रश्नों। 

(3 )एक वृत्तीय बिंदुओं के गुणों पर आधारित प्रश्नों। 

sineθ , cose θ  ,tanθ ,cotθ ,secθ ,cosecθ के प्रमुख मान :-  

note-   LAL  /KKA से सभी के मान ज्ञात किये जा सकते है। 

sineθ=L /K = लम्ब /कर्ण 

cose θ= A /k =आधार /कर्ण 

tanθ = L /A   =  लम्ब /आधार 

cotθ=A /L =आधार /लम्ब 

secθ =K /A =कर्ण /आधार 

cosecθ= K /L =कर्ण /लम्ब 

 दिये गये  मान  √0/4  |   √1/4   |  √2/4  | √3/4  | √4/4 से अंशों के मान ज्ञात करना 

                  |   0º    |    30º     |     45º   |    60º     |    90º  |  

    sineθ =    | 0       |   1 /2      |   1 /√2  | √3/2    |   1     | 

     cos θ =   |   1     |  √3/2     |   1 /√2  |    1 /2   |    o     | 

    tan θ =  sineθ / cos θ , tan  45º  का मान ज्ञात करने के लिए निम्न प्रकार से ज्ञात करते है 

    tan  45º = sine 45º /cos45º = 1 /√2/1 /√2=1 

   height and distance questions  (ऊँचाई और दूरी ):-

उदाहरण 1:- एक सीधे खम्भे की परछाई उसकी ऊंचाई से √3 गुणा है। खम्भे का उन्नतांश कोण क्या होगा  ? 

हल :-      माना खम्भे का उन्नतांश कोण =θ 

           खम्भे की ऊंचाई =  x 

          अतः खम्भे की परछाई =  x√3                                             

                                 

 tan θ = लम्ब /आधार   = x  /  x√3                                                                                                

           tan θ = tan  30 º  => θ =30 º 

           अभीष्ट उत्तर => θ =30 º 

 उदाहरण  2:-   एक क्षैतिज तल पर उसके पैर से 120 मीटर की दूरी पर एक मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण  30 अंश पाया जाता है ,मीनार की ऊंचाई ज्ञात कीजिए। 

हल :-  माना AB एक मीनार है|  

बिंदु  C  पर वह व्यक्ति है, जो 30 अंश  कोण बनता है। 

< ACB = 30 º 

त्रिभुज ABC में  tan  30 º   =AB /120 

 AB = 120 x 1 /√3  =69.28 m 

 अभीष्ट उत्तर => 69.28 m

उदाहरण 3 :-एक पेड़ की ऊँचाई छाया की  √3 गुना है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।  

  हल :- माना  पेड़ की छाया = x                

  तब पेड़ की ऊँचाई = x √3 है 

  Tan θ   =  AB/BC

    Tan θ      = x √3/x

          

    Tan θ     =     60 º

    

          θ   =  60 º

   अभीष्ट उत्तर =>   60 º  

उदाहरण4:- एक मीनार की एक ही ओर एक सीधी रेखा में खड़े दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30º और  60º  मापते है। यदि मीनार की  उँचाई 70 मीटर है ,दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी  ज्ञात कीजिए। 

हल:-    दिया मीनार की ऊँचाई =70 मीटर , दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30º और  60º     

 दिया मीनार की ऊँचाई    CD  =70 मीटर , 

दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण  ∆ ACD   में    क्रमशः ∠ 30º और  ∠ 60º   है  तब 

∆ DACमें ∠ A   = 30º  

       

 tan 30º  =DC /AC 

  1 /√3 =70 /AC 

AC =  70 x √3 =70 x 1.732 =121.24 मीटर 

∆ DBCमें ∠ B   = 6 0º  

 tan 60º  =DC /BC 

√3 =70 /BC

BC=70/  √3 =  70/1.732  =  40.41 मीटर 

 दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी AB=AC-BC=121. 24 - 40. 41 

     

                                      =80. 87 मीटर 

अभीष्ट उत्तर =>80. 87 मीटर 

उदाहरण 5 :-  एक मीनार की दोनों ओर एक सीधी रेखा में खड़े दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः  45 º और  45 º  मापते है। यदि मीनार की  उँचाई 90 मीटर है ,दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी  ज्ञात कीजिए।

हल :-दिया है ,मीनार की  उँचाई 90 मीटर , दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30º और  45 º है। 

दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी  ज्ञात करना है। 

 

∆  D ABमें ∠ A   = 45 º  

       

 tan 45 º  =DB  / AB   

   1  =90  /AB  

AB =  9 0 /1  = 90 मीटर  

∆ DCB में ∠ C    = 45 º  

 tan 45 º  =DB  /BC 

1 =90  /BC

BC=   90 /1  =  90 मीटर 

 दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी AB=AB +BC=90 +90 

     

                                               =  180  मीटर 

अभीष्ट उत्तर =>180  मीटर 

उदाहरण 6 :-एक मीनार की एक ही ओर एक सीधी रेखा में खड़े दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30º और  45 º  मापते है। यदि ,दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी  25  मीटर है, तो मीनार की  उँचाई  ज्ञात कीजिए।  

हल :-दिया है दो व्यक्ति मीनार के शिखर के उन्नयन कोण क्रमशः 30º और  45 º  और दो व्यक्तियों के  बीच की दूरी  25  मीटर है| 

∆  D ABमें ∠ C    = 45 º  

       

 tan 45 º  =A B  / BC    

 1  =h   /x   

  x =h 

∆ A BD  में ∠ D    = 30  º  

 tan 30  º  =   A B  /BD 

 1 /√3  =h   / x +25 

√3 h =x +25 

√3 h-h =25

h  =   25 /√3 -1 

h = 25 /1.732-1

 

h= 25/0.732= 34.15 मीटर 

 

 अभीष्ट उत्तर => 34.15  मीटर 

उदाहरण 7 :-एक चट्टान की  चोटी पर एक प्रेक्षक ,समुद्र तल से 200 मीटरऊपर ,दोनों जहाजों के अवनमन कोणों का प्रेक्षक क्रमशः 45 और 30 है जब जहाजे प्रेक्षक के बिपरीत दिशा में हो तो दूरी ज्ञात कीजिए  

हल :- दिया है ,समुद्र तल से 200 मीटरऊपर ,दोनों जहाजों के अवनमन कोणों का प्रेक्षक क्रमशः 45 और 30 है| 

          

∆  AC Bमें ∠ C    = 45 º  

       

 tan 45 º  =A B  / BC    

 1  =200   /BC    

  BC  =200/1 =200 मीटर 

∆ AD B  में ∠ D    = 30  º  

 tan 30  º  =   A B  /BD 

 1 /√3  =200   / BD  

BD =200 x √3=200 x 1. 732 

BD =346. 4 

जब जहाजे प्रेक्षक के बिपरीत दिशा में हो तो दूरी =200 +346. 4 

                              

 =546. 4 मीटर 

 

 अभीष्ट उत्तर => 546. 4  मीटर 

निष्कर्ष :-  दैनिक जीवन में height and distance formula और  प्रश्नों का अनेक प्रयोग किया जाता है। जिसकी जानकारी के लिए अनेक परीक्षाओं में प्रश्न पूछे जाते है। 

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