Logarithms,Logarithms ke niyam

 

                                                                 

 Logarithms,Logarithms ke niyam  .  लघुगणक ,लघुगणक के नियम   :-

किसी दिये हुए आधार पर किसी संख्या का Logarithms ,आधार का वह घातांक है ,जिसे आधार परलगाने से वह संख्या प्राप्त हो जाती है।  यदि आधार x की n वीं घात y है तो इसका अर्थ है कि x आधार पर y का लघुगणक के नियम से n है। 

     यदि     x n  =   y

           => log x y =n

 Logarithms ke niyam   लघुगणक के नियम   :- 

(1 ) 1 का लघुगणक प्रत्येक आधार पर शून्य होता है।      log a  1  =0 

(2 ) संख्या के समान आधार होने पर उसका log ,  1 होता है। जैसे -  log x x  =1

(3 ) शून्य का log किसी भी आधार पर अनंत होता है | जैसे -  log x 0 = ∞ 

(4) एक से बड़ी संख्या के लघुगणक का पूर्णाश ,उस संख्या के पूर्णांक भाग के अंको की संख्या से एक कम होता है।

(5 ) एक से छोटी  संख्या के लघुगणक का पूर्णाश,दशमलव बिन्दु के बाद आये हुए शून्यों की संख्या से एक अधिक होता है ,तथा ऋणात्मक होता है। 

(6 )यदि किसी संख्या के लघुगणक में उसका आधार नहीं दिया गया हो,तो आधार 10 मान लेते है। 

 Logarithms ke sutr     लघुगणक के सूत्र   :-

 

(1 )  log a m n   = log am  + log a n   

 (2 )log a      ( m/ n )  = log am  - log a n   

(3 )log a (m) n   =    n log am  

(4 )   log a m    = log b m  + log a b  

(5 ) log a b   x  log ba   = 1 

आधार 10 पर लघुगणक ज्ञात करना :- 

(1 ) log 10 10      = 1  ,    (2 )  log 10 100    = 2  ,  (3 ) log 10 1000   = 3

(4 )log 10 10000  = 4 ,  (5 )  log 10 0.1    = -1  ,   (6 )  log 10 0.0 1  =-2 

(7 ) log 100.001  =  -3 

  Antilogarithms   (प्रति लघुगणक  ):-

यदि   log x     = y  

 तो y का प्रति लघुगणक antilog  y =x  

उदाहरण 1:-   यदि log 10  2  = ०. 3010  तो log 4 का मान ज्ञात कीजिए। 

हल :-      log 4

             

                 = log 10  4   

           

                  =log 10 (2)2 

                 = 2log 10 2 

      

                = 2 x०. 3010= 0. 6020

   अभीष्ट उत्तर => 0. 6020 

उदाहरण 2 :-यदि log  2  = 7   तो log 80 का मान ज्ञात कीजिए। 

हल :- log 80 = log  16 x 5 

                     

                     = log  16  + log  5 

  

                      =log 24 + log10 /2  

                      

                      =4 log 2 + log10 - log2 

                      = 3  log 2 + log10  

       

                      =3 x 7 +1 =22 

                        अभीष्ट उत्तर => 22 

उदाहरण 3 :-यदि  log 3x   = -2   तो x  का मान ज्ञात कीजिए।

हल :-हम जानते है कि log a x   =   n 

                                          =    a n  = x  

  

                          अतः  log 3 x   =  - 2 

           

                                     (3) -2  =x 

         

                                       x =1 /(3 )2 =1 /9 

              अभीष्ट उत्तर => 1 /9  

उदाहरण 4:-   log 3 (  log 39 +   log 33   )  का  मान ज्ञात कीजिए।    

हल:-     log 3 (  log 39 +   log 33   ) 

            =  log 3 (  log 332     +   log 33 ) 

           =  log 3 ( 2  log 33  + log 33 ) 

            = log 3 ( 2 +1 )  

            =   log 33    

           

             = 1        (  log xx     = 1 )

           अभीष्ट उत्तर => 1 

 उदाहरण 5 :-   log  (  m /n ) a  का  मान ज्ञात कीजिए।    

 हल :-    log  (  m /n ) a 

               = a   log  (  m /n ) 

             =  a  log m -a  log n 

          अभीष्ट उत्तर => a  log m -a  log n  

 उदाहरण 6 :-   यदि log 10  2  = ०. 30103   तो log 10 50  का मान ज्ञात कीजिए। 

हल:-          log 10 50     =    log 10 (100/2) 

                                       =    log 10100 - log 10 2 

                                       =     log10 10 2 - log 10 2 

                                       =  2 log10 10  -०. 30103 

                                       =  2  - ०. 30103 =1.69897  

                         

                                       अभीष्ट उत्तर =>1.69897  

उदाहरण 7  :-यदि log 10 2  = ०. 30103 तथा log 10 3 = ०. 4771  है

10 . 30103x10 ०.4771   का मान ज्ञात कीजिए। 

हल:-   log 10 2  = ०. 30103   

    

              10 . 30103  = 2  

               log 10 3 = ०. 4771 

                 10 ०.4771 =  3 

          10 . 30103x10 ०.4771  =2 x 3 =6  

          अभीष्ट उत्तर => 6  

उदाहरण 8:- यदि  log 10 m  = b  -  log 10n   तो   m का  मान ज्ञात कीजिए।  

हल :-  log 10 m  = b  -  log 10n  

            log 10 m +  log 10n   = b 

             log 10 m x n   = b  

           

                           m x n  =10 b 

                            m  =10 b  /n   

                अभीष्ट उत्तर => 10 b  /n 

उदाहरण 9:- यदि   log 10a  +log 10b  =   log 10 (a  +b )  तो  a  का  मान ज्ञात कीजिए।  

हल:-   log 10a  +log 10b  =   log 10 (a  +b ) 

  

               log 10a b  =   log 10 (a  +b ) 

                           ab =a +b 

                            a =b /b -1 

       अभीष्ट उत्तर => b /b -1 

  निष्कर्ष:-  Logarithms  एवं लघुगणक के नियम  के द्वारा बड़ी से बड़ी संख्या को सरल एवं सही रूप से लिख सकते है।