set theory , समुच्चय सिद्धांत
भूमिका :- समुच्चय को अंग्रेजी भाषा में SET कहा जाता है। सेट शब्द का प्रयोग दैनिक जीवन में वस्तुओं एवं
सामग्री के लिए किया जाता है। जैसे -टी सेट ,सोफा सेट ,डिनर सेट ,पेन सेट आदि ऐसे संग्रह है। इसी प्रकार
प्राकृतिक संख्याओं ,अभाज्य संख्याओ ,भाज्य संख्याओं ,सम संख्याओं ,विषम संख्याओं ,क्रमागत संख्याओं ,किसी
रेखा खंड ,किसी प्रश्नो का अभ्यास का सेट ,आदि सभी के समूह ,झुण्ड ,संग्रह एवं सेट का बोध करते है।
समुच्चय की अवधारणा सर्वप्रथम 1890 में जर्मन गणितज्ञ जार्ज कैन्टर ने किया है। समुच्चय सिध्दांत का उपयोग
गणित की अधिकांश शाखाओं में किया जाता है। आइये हम अध्ययन करे कि समुच्चय किसे कहते है ?
समुच्चय किसे कहते है ? तत्वों के समूह या संख्याओं के समूह को समुच्चय कहते है। जिसमे विभिन्न समूहों में
विभिन्न प्रकार के तत्व या अवयव पाये जाते है। जैसे -समुच्चय A में खेलने के समान -हॉकी ,फुटबाल ,वालीवाल
,क्रिकेट है ,समुच्चय B में फल -केला ,आम ,अमरुद ,संतरा ,खरबूज है ,समुच्चय C में 1 से 10 तक प्राकृतिक
संख्याए है। उन वस्तुओ को जिससे समुच्चय बनता है उन्हें समुच्चय के अवयव या सदस्य कहते है। समुच्चय
का सदस्य है ,इसे ग्रीक भाषा के अक्षर ∈ (एप्सयलन )से प्रदर्शित करते है। x∈ A जहां x अवयव समुच्चय में
सम्मिलित है, ∈= belogs to ( सम्मिलित )है तथा ∉ = not belogs to ( सम्मिलित नहीं )है।
उदाहरण :- समुच्चय A में 1 से 10 तक अभाज्य संख्याए है |
हल :- अभाज्य संख्याए 3 ,5 ,7 है जो समुच्चय A का सदस्य है |
उदाहरण :-क्या खरबूज समुच्चय सब्जी का सदस्य है ?
हल :- खरबूज समुच्चय सब्जी का सदस्यनहीं है|
समुच्चय को प्रदर्शित( representation of sets):- समुच्चय को प्रदर्शित करने की दो विधि है। समुच्चय को प्रायः
A ,B ,C ,D ,P ,Q ,R आदि अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों से प्रदर्शित करते है तथा उनकेअवयवों को छोटे अक्षरों
a ,b ,c ,d ,x ,y आदि से प्रकट करते है।
(1 )सारणीयन विधि (Tabular method ):- इस विधि द्वारा समुच्चय के समस्त अवयवों की सूची बनाकर मंझले
कोष्ठक के अन्दर लिख दिया जाता है और अवयवों को पृथक दर्शाने के लिए उनके बीच अल्प विराम लगा दिया
जाता है।इसे सूची विधि भीकहते है। समुच्चय में अवयव को दो बार प्रयोग नही किया जाता तथा समुच्चय का
अवयवों को एक क्रम में लिखते है।
उदाहरण :-समुच्चय D को सप्ताह के दिनों में लिखिए।
हल :- D ={रविवार ,सोमवार ,मंगलवार ,बुधवार ,गुरुवार ,शुक्रवार ,शनिवार }
उदाहरण :- समुच्चय Cको अंग्रेजी वर्णमाला में स्वरों को लिखिए।
हल:- C = { a ,e ,i ,o u }
(2 )नियम विधि या समुच्चय निर्माण विधि (Rule method or Set builder method ):- इसविधि में समुच्चयों
को निरूपित करने के लिए मझले कोष्ठक के अन्दर एक चर x या y या z लिख कर उसकी व्याख्या की जाती है।
जिसमे x या y या z के बाद दो बिन्दु (एक के नीचे दूसरा ) : लगा दिया जाता है। कभी -कभी दो बिन्दु के स्थान पर
एक खड़ी रेखा का प्रयाग होता हैx| ,y |
जिसमे मझले कोष्ठक के अन्दर कोई चर x या y लिखकर समस्त अवयवों के उभयनिष्ठ गुण के आधार पर उसकी
व्याख्या कर दी जाती है इस विधि का प्रयोग अधिक अवयवों के होने पर किया जाता है तथा मझले कोष्ठक के
अन्दर कोई व्यापक अवयव लिखकर समस्त अवयवों के उभयनिष्ठ गुण के आधार उनकी व्याख्या की जाती है।
उदाहरण :- यदि A =24 से छोटी अभाज्य संख्याओं का समुच्चय है तो नियम विधि से लिखिए।
हल :- A ={x :x एक अभाज्य संख्या है तथा x < 24 }
उदाहरण :- A ={2 ,3 ,5 ,7 11 }को नियम विधि से लिखिए।
हल :- A ={x :x एक अभाज्य संख्या है तथा x < 12 }
उदाहरण:- समुच्चय V = अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों के समुच्चय को सारणी एवं नियम विधि से लिखिए।
हल :- सारणी विधि
V = { a e i o u }
नियम विधि
V ={x : x एक अंग्रेजी वर्णमाला के स्वरों का समुच्चय है }
उदाहरण :-दिये गये समुच्चय B ={1 /3 ,2 /4 ,3 /5 ,4 /6 ,5 /7 }को नियम विधि से लिखिए।
हल:- B ={x :x =n/n +2 ,n ∈N , 1 ≤ n ≤5 }
समुच्चय कितने प्रकार के होते हैं / types of sets आइये अध्ययन करें कि समुच्चय कितने प्रकार के होते है
सीमित समुच्चय (Finite set ):- जिन समुच्चयों के अवयवों की संख्या सीमित (निश्चित ),परिमित होती है वे
परिमित (सीमित )( Finite) कहलाते है। जैसे -समुच्चय A ={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9, o}में कुल 10 अवयव है ,
उदाहरण :- समुच्चय A =जुलाई महीना एक वर्ष में आता है।
हल :- A ={x :x ये महीना एक वर्ष में आता है }
अपरिमित समुच्चय (Infinite set ):- वह समुच्चय ,जिनके अवयवों की संख्या निश्चित न हो या अवयवों की
संख्या अनन्त होती है उसे अपरिमित (असीमित )कहते है। जैसे -A ={12 ,14 ,16 ,18 ,---------} जिसमे 10 से बड़े
अनन्त अवयव है।
उदाहरण :- यदि X ={x :x ,3 से विभाज्य प्राकृतिक संख्या है }तो समुच्चय X का प्रकार ज्ञात कीजिए।
हल :- 3 से विभाज्य प्राकृतिक संख्याए असीमित है अतः X ={3 ,6 ,9 . 12 ,15 ,18 ---------------} इस
प्रकार यह असीमित समुच्चय है।
एकल समुच्चय (Singleton set or Unite set ):- वह समुच्चय जिनके अवयवों की संख्या केवल एक होती है ,
उस समुच्चय को एकल समुच्चय कहते है। जैसे -वर्तमान में भारत के प्रधानमंती का समुच्चय है क्यों कि देश में
केवल एक ही प्रधानमंती होते है।
उदाहरण :- समुच्चय Q = {x :x सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या} के अवयवों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल :- समुच्चय Q = {x :x सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है }इसलिए यह एकल समुच्चय है।
रिक्त समुच्चय (Null set or Emptyset or Void set ):- जिन समुच्चयों के एक भी अवयव नहीं होते है ,उन्हें
रिक्त समुच्चय कहते है। ऐसे समुच्चय को {}से या ϕ चिन्ह से प्रदर्शित करते है। जैसे -समुच्च्त A =2 और 3 के
बीच के धनपूर्णांको का समुच्चय ,तो A के अवयव कोई नहीं है।
उदाहरण :- 99 से बड़ी दो अंकों की प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय ज्ञात कीजिए।
हल :- 99 से बड़ी कोई दो अंकों कीबड़ी प्राकृतिक संख्या नहीं होती है। इसलिए इसे {} रिक्त समुच्चय कहते है।
असंयुक्त समुच्चय (Disjoint set ):- जिन दो समुच्चय में कोई अवयव सम्मिलित नहीं है ,उस समुच्चय को
असंयुक्त(विसंधीत ) समुच्चय कहते है। जैसे -A ={s, t, u ,v }तथा B ={3 ,9 ,12 ,14} अतः A तथा B Disjoint set है।
उदाहरण :-यदि दो समुच्चय Q ={a ,b, c ,d ,e ,f }तथा P ={1 2 ,3 ,4 ,5 ,6 }में कौन समुच्चय है ?
हल :- Q तथा P में कोई अवयव नहीं सम्मिलित है।
अतिव्यापी समुच्चय (Overlapping sets ):-जब दो समुच्चय में कम से कम एक अवयव सम्मिलित हो उसे
अतिव्यापी समुच्चय कहते है। जैसे -दो समुच्चय में A ={a ,b ,c ,d }तथा B ={a ,e, i, o ,u }में अवयव a दो में
सम्मिलित है।
समुच्चय की सदस्य संख्या (Cardinal number of sets ):- दिये गये समुच्चय में अवयवों की संख्या एक
निश्चित होती है,यदि समुच्चय S में m सदस्य हो ,तो संकेतन में समुच्चय की सदस्य संख्या n (S )=m लिखते है।
जैसे -समुच्चय A ={1 ,2 ,3, 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 } में सदस्य 10 है तो n(A )=10
उदाहरण :- समुच्चय C ={p ,q ,r ,s }में सदस्य संख्या ज्ञात कीजिए।
हल:- n(C )=4 , समुच्चय की सदस्य संख्या =4
सम समुच्चय ( equal sets) :- दो समुच्च्त A तथा समुच्चय B सम कहलाते है ,यदि A का प्रत्येक अवयव ,B का
भी अवयव हो और B का प्रत्येक अवयव ,A का भी अवयव हो तो उसे सम समुच्चय कहते है। इसे A =B से
प्रदर्शित करते है। यदि A तथा B सम समुच्चय नहीं है तो A ≠B से प्रदर्शित करते है|
उदाहरण:- यदि दो समुच्चय A =(a ,b ,c ,d }तथा B ={b ,d ,a ,c }क्या सम समुच्चय है ?
हल :-दो A =B सम समुच्चय है क्योकि दो में अवयव समान है।
समतुल्य समुच्चय / equivalent sets symbol :- ऐसे समुच्चय जिनकी सदस्य संख्या समान हो ,परन्तु सदस्य
अलग-अलग हो उसे समतुल्य समुच्चय कहते है,इसका प्रतीक A ↔ B है। जैसे - A ={1 ,2 ,3 }तथा B ={a ,b ,c }में ज्ञात है की n (A )=3 तथा n (B )=3, ∴n (A )↔n (B )
उदाहरण :- यदि A ={a ,e ,i ,o ,u }तथा B ={x :x एक 6 से छोटी प्राकृतिक संख्या है },n(A )=n (B )के मान ज्ञात कीजिए |
हल :- n (A )=5 तथा n (B )=5 ,∴n (A )=n (B ) है।
उप समुच्चय किसे कहते हैं(subset meaning):- माना समुच्चय A और B है, तो यदि समुच्चय A का प्रत्येक
अवयव ,समुच्चय B का अवयव हो ,तो समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय कहते है। और A ⊂ B orA
⊆ B से प्रदर्शित करते है इसको A उपसमुच्चय B पढ़ते है।
उदाहरण:- {a ,b ,c } ⊂ {a ,b ,c ,d ,e }क्या उपसमुच्चय है ?
हल :-अतः {a ,b ,c } समुच्चय {a ,b ,c ,d ,e }का उपसमुच्चय है|
अधि समुच्चय :-यदि A ,समुच्चय B का उपसमुच्चय हो तो B को A का अधि समुच्चय कहते है और इसे B ⊇ A
से प्रदर्शित करते है|
उदाहरण :- यदि A ={1 ,2 ,3 }तथा B ={-3 ,-2 ,-1 ,0 ,1 ,2 ,3 }में क्या है ?
हल:- अतः A ⊂ B या B ⊃ A है
समुच्चयों का संघ ( union of sets):- यदि A तथा B दो समुच्चय है ,तो उन सब अवयव का समुच्चय A में और
B में भी है ,या दो समुच्चयों में हो तो A तथा B का संघ (union )कहलाता है। इसे A ∪ B से प्रदर्शित करते है|
उदाहरण :- यदि A ={1 ,2 ,3 }तथा B ={2 ,6 ,7 }में A ∪ Bज्ञात कीजिए।
हल:- A ∪ B={1 ,2 ,3 }∪{2 ,6 ,7 }
={1 ,2 ,3 ,6 ,7}
अभीष्ट उत्तर=> {1 ,2 ,3 ,6 ,7}
समुच्चयों का प्रतिच्छेद ( intersection of sets definition):- A तथा B ,दो समुच्चयों के उभयनिष्ठ अवयवों का
समुच्चय ,,A तथा B का प्रतिच्छेद समुच्चय कहलाता है ,इसे A ∩ B से प्रदर्शित करते है|
उदाहरण:- यदि A = {p,q,r }तथा B ={p,q,s, t }में A ∩ Bज्ञात कीजिए |
हल :- A ∩ B={p,q,r } ∩{p,q,s, t }
={p,q}
अभीष्ट उत्तर=>{p,q}
समुच्चयों का अन्तर(differnce of sets) :- यदि A तथा B दो समुच्चय हो तो उन अवयवों का समुच्चय ,जो A के
अवयव है ,परन्तु B के अवयव नहीं है ,A तथा B का अन्तर समुच्चय कहते है इसे A - Bसे प्रदर्शित करते है|
उदाहरण:- यदि A ={a ,b ,c d }तथा B ={c ,d ,e .f }में A - B ज्ञात कीजिए।
हल:- A - B ={a ,b ,c d }-{c ,d ,e .f }
={a ,b }
अभीष्ट उत्तर=>{a ,b }
पूरक समुच्चय:- यदि A एक समुच्चय है तथा Uसमष्टीय समुच्चय है ,तो U -A को A का पूरक समुच्चय कहते है इसे Ac से प्रदर्शित करते है|
उदाहरण :-यदि समुच्चय A ={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 }तथा B ={4 ,5 ,6 ,7 ,8 }तो A ∪ Bऔर A ∩ B को वैन आरेख द्वारा ज्ञात कीजिए।
हल:- A ∪ B={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } ∪{4 ,5 ,6 ,7 ,8 }={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6,7 ,8 }
A ∩ B को वैन आरेख={1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } ∩ {4 ,5 ,6 , 7 ,8 }={ ,4 ,5 ,6, }
विभिन्न परीक्षाओं में पूछे जाने वाले प्रश्नो का अध्ययन कीजिए
निष्कर्ष :- समुच्चय द्वारा किसी वस्तु या सामग्री ,संख्याए एवं प्रणालीय को सरल ,सुव्यवस्थित तरीके से व्यक्त किया जाता है।
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