volume meaning in hindi,आयतन किसे कहते हैं

    volume meaning in hindi,आयतन किसे कहते हैं?

                                                             

 आयतन ( volume):-  किसी निकाय या वस्तु या तरल के द्रव्यमान या सभी पदार्थ द्वारा घेरे गये या छेके गये स्थान को आयतन कहते है | किसी पदार्थ या वस्तु का आयतन ज्ञात करने के लिए उसकी लम्बाई ,चौड़ाई तथा ऊचाई की आवश्यकता पड़ती है | 

आयतन का मात्रक एस.आई पध्दति में  मी 3   तथा अन्य मात्रक में सेमी 3 ,डेमी 3 का प्रयोग किया जाता है | 

आइये देखते है कि हमे जीवन में किन -किन वस्तुओं या पदार्थो  के आयतन ज्ञात करने की अति आवश्यकता होती है | जिसमे गोला ,लंबवृतिय शंकु ,वेलन ,घन ,घनाभ तथा विलयनों के आयतन आदि प्रमुख के साथ अन्य वस्तुओ का भी आयतन ज्ञात किया जाता है | 

 गोला  का आयतन (volume of sphere) :-एक निश्चित बिंदु से समान दुरी पर सभी बिन्दुओ से प्राप्त वक्रपृष्ठ से सीमाबध्द आकृति गोला कहलाती है | या किसी अर्धवृत के व्यास को अक्ष मानकर घुमाने पर जो आकृति बनती है उसे गोला कहा जाता है | जैसे -फुटबाल ,बालीबाल ,क्रिकेट की गेंद आदि|

  

ABCअर्धवृत है जिसका व्यास AB तथा केंद्र O है  ABDE एक गोला है | 

                 

   1 - गोले का आयतन =4 /3 π r3

   2-गोले का वक्रपृष्ठ =4  π r2

    3-अर्ध गोले का आयतन = 2  /3 π r2 

   4 - अर्ध गोले का वक्रपृष्ठ = 2  π r2 

गोलीय कोश (spherical shell ):- दो सकेंद्र गोलों के बीच परिबध्द भाग गोलीय कोश कहते है | 

     1- गोलीय कोश का आयतन =4 /3 π( R13 -R2 3)

     2 गोलीय कोश का आयतन =4  π( R12  -R2 2 ) 

      जहा  R1 एवं R2   गोलीय   कोश की बहरी एवं आंतरिक त्रिज्या है | 

उदाहरण:- 7.2 सेमी त्रिज्या के गोले का आयतन एवं बक्रपृष्ठ ज्ञात कीजिए | 

       हल:-  गोले का आयतन=4 /3 π r3

                                           =4 /3 x 22 /7 x 7 . 2 x 7. 2 x 7. 2 

                                            =1564. 1 सेमी 3

             गोले का वक्रपृष्ठ =4  π r2

                                           =4x 22 /7 x 7. 2 x 7. 2 

                                            =651. 7  सेमी 2 

         अभीष्ट  उत्तर=>1564. 1 सेमी 3     एवं       651. 7  सेमी 2

उदाहरण :-एक अर्ध्द गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए ,जिसका आयतन 155232   सेमी 3है | 

        हल :- अर्ध्द गोले काआयतन =155232   

                                        155232 =2  /3 π r2 

                                            r2     =74088           

                                               r    =     42 

                 अर्ध्द गोले का सम्पूर्ण पृष्ठ  =  3   π r2  

                                                                 =3  x 22 /7 x 42x 42  

                                                                 =16632 सेमी 2 

                  अभीष्ट  उत्तर=>16632 सेमी 2 

उदाहरण :-यदि गोले की त्रिज्या 100 %बढ़ा दी जाय तो गोले का आयतन कितने %बढ़ जायेगा ?

            हल :-   माना गोले की त्रिज्या  r  है | 

                     ∴   गोले का आयतन =4 /3 π r3

                      100 %बढ़ाने पर नये  गोले की त्रिज्या = r +r x 100 /100 =2r 

                      ∴नये गोले का आयतन =4 /3 π  8 r3

                                                       =32 /3 π r33 

                    आयतन में वृध्दि =32 /3 π r3  - 4 /3 π r3

                                               =28 /3  π r3

    वृध्दि %=वृध्दि x 10/प्रा आयतन =28 x 3 x  π r3x 100 /3 x 4 x   π r3

                                  = 700 %

    अभीष्ट  उत्तर=>700 %

 वेलन  ( cylinder  ):-

लम्बी वृतीय वेलन (right circular cylinder):- एक ठोस जिसमे एक समान वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट होता है ,उसे वेलन या लम्बी वृतीय वेलन कहते है | 

जहां r वेलन वेलन के आधार की त्रिज्या तथ h वेलन की ऊचाई है |       

अनुप्रस्थ काट का क्षेत्र =   π r2 

अनुप्रस्थ काट का परिमाप  =  2  π r

वेलन का आयतन =अनुप्रस्थ काट का क्षेत्र x ऊचाई =   π r2  h  

वेलन का वक्रपृष्ठ =अनुप्रस्थ काट का परिमाप x ऊचाई=2  π r  h 

 वेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ =  वेलन का वक्रपृष्ठ x 2 (  अनुप्रस्थ काट का क्षेत्र )  =   2  π r  h    +   2  π r2 

                                   =2  π r (h +r )

खाली वेलन (Hollow cylinder ):-माना R वेलन की बहरी त्रिज्या एवं r आंतरिक त्रिज्या है | 

        दीवार की मोटाई =R -r 

        अनुप्रस्थ काट का क्षेत्र =  π R 2 - π r  2 

                                                              =    π   ( R 2 -  r  2 )

         बहरी वेलन का वक्रपृष्ठ = 2  π R   h

          आंतरिक वेलन का वक्रपृष्ठ= 2  π r  h  

          वेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ =2  π R   h+ 2  π r  h  +2  π   ( R 2 -  r  2 )

          वेलन का आयतन =      π R 2 - π r  2    h 

उदाहरण  :-  यदि एक ठोस वेलन के आधार की त्रिज्या तथा ऊँचाई का योग 37 मीटर है तथा वेलन का सम्पूर्ण पृष्ठ 1628 मी 2  हो तो आयतन क्या होगा ? 

    हल :-दिया है r +h =37मीटर  तथा सम्पूर्ण पृष्ठ =1628 मी 2 

                        2  π r (h +r )=1628 

                       2 x 22 /7 x r x 37 =1628 

                            r =7 मीटर 

                       ∴ h =37 -7 =30 मीटर 

          वेलन का आयतन =   π r2  h  =22/7 x 7 x 7 x 30  =4620 घन मीटर 

           अभीष्ट उत्तर =>4620 घन मीटर

      उदाहरण:-  एक वेलन का आधार 154 वर्ग सेमी तथा वेलन की ऊंचाई 15 सेंमी है | वेलन का आयतन और              वक्र पृष्ठ ज्ञात कीजिए। 

           हल :- वेलन का आधार  =  π r  2    = 154

                                        r  2  =154 /π=154 x 7 /22 =49 

                                        ∴  r  =7  

                    वेलन का आयतन = π r2  h =22 /7 x 7 x 7 x 15 = 2310 घन सेंमी 

                    वेलन का वक्र पृष्ठ = 2  π r  h =2 x 22 /7 x 7 x 15 =660 वर्ग सेंमी 

                     अभीष्ट उत्तर => 2310 घन सेंमी ,660 वर्ग सेंमी 

शंकु(Cone ):- किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाओं में से एक भुजा को अक्ष मानकर त्रिभुज को उसके परितः घुमाने से कर्ण द्वारा बना बक्रपृष्ट शंकु कहलाता है। जैसे -टोपी जोकर की ,चुरमुरे की पुड़िया। 

जहा r शंकु के आधार की त्रिज्या ,शंकु की ऊंचाई h तथा शंकु की तिर्यक ऊंचाई l है। 

शंकु का आयतन =1 /3 आधार का क्षेत्रफल x ऊंचाई =1 /3  π r2  h

शंकु का बक्रपृष्ठ = π r l  

शंकु की तिर्यक ऊंचाई =  √  r2  + h2 

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ= π r( l + r )

उदाहरण :- एक शंकु के आधार की त्रिज्या 5 सेंमी तथा ऊंचाई 12 सेंमी है। शंकु का आयतन तथा सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए | 

हल:- शंकु कीतिर्यक ऊंचाई = √  r2  + h2   = √  12 2  + 5 2 = √ 144 +25 =13 सेंमी 

शंकु का आयतन =1 /3  π r2  h=1 /3 x 22 /7 x  5 2 x 12  =314. 3 घन सेंमी 

शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठ = π r( l + r )=22 /7 x 5 (5 +13 )=282. 9 वर्गसेंमी 

अभीष्ट उत्तर =>314. 3 घन सेंमी एवं 282. 9 वर्गसेंमी 

घनाभ :-

उदाहरण :-एक शंक्वाकार तम्बू बनाने में 264 वर्ग मीटर कपड़ा लगता है | यदि तम्बू की तिर्यक ऊंचाई 12 मीटर हो तो इसकी ऊर्ध्वाधर ऊंचाई ज्ञात कीजिए। 

हल :-  शंक्वाकार तम्बू बनाने मेंलगने वाले कपड़ो का क्षेत्रफल =शंकु का बक्रपृष्ठ=  π r l  =264 

          r =264 x 7 /12 x 22 =7 मिटर 

        h =√  l 2  - r 2 =√  12  2  - 7  2 =√ 95 =9. 64 मीटर 

           अभीष्ट उत्तर =>9. 64 मीटर 

घन (Cube ):-  ऐसा घनाभ जिसकी सभी 6 फलके ं समान हो उसे घन कहते है। या जिस घनाभ की लम्बाई ,चौड़ाई एवं ऊंचाई  समान  हो उसे घन कहलाता है। जिसमें सभी 6फलकों के क्षेत्रफल समान होते है। 

माना घन की एक भुजा a है। तो एक फलक का क्षेत्रफल  =    भुजा 2 = a  2

             घन का आयतन =भुजा3 = a 3 

             घन का पृष्ठ क्षेत्रफल =6 x भुजा 2 = 6 a  2

           घन का विकर्ण =√  3 x भुजा =√  3 x a 

उदाहरण  :-  घन के प्रत्येक कोर की लम्बाई 4 सेंमी है ,तो घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। 

         हल :- घन के सम्पूर्ण पृष्ठ का क्षेत्रफल  =   6 a  2

                                                                  =6 x 4 x 4 =96 वर्ग सेंमी 

                    अभीष्ट उत्तर =>96 वर्ग सेंमी 

उदाहरण:- एक घन के सभी पृष्ठों का कुल क्षेत्रफल 1734 वर्ग सेंमी है। इसका आयतन क्या होगा ? 

            हल :-        घन के सभी पृष्ठों काक्षेत्रफल = 6 a  2

                                                                        6 a  2     =1734 

                                                                          a  2 =289

                                                                          a =17 सेंमी 

                              घन का आयतन = = a 3   = 17 x 17 x 17 = 4913  घन सेंमी 

                              अभीष्ट उत्तर => 4913  घन सेंमी 

घनाभ :-घनाभ   की आकृति  ठोस बनाना सम्भव नहीं है उसकी आभासी चित्र बनाकर दर्शा सकते है |जिसमे आठ शीर्ष एवं बारह कोर होते है तथा 6 फलके होती है जो आयताकार होती है 

घनाभ की लम्बाई l ,चौड़ाई b और ऊंचाई h है तो घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ =2(lb +bh +hl)  वर्ग सेंमी   

उदाहरण :-घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए ,जिसकी लम्बाई 10 सेंमी ,चौड़ाई 8 सेंमी और ऊंचाई 5 सेंमी है। 

          हल :-दिया है कि l =10 सेंमी ,b =8 सेंमी ,h =5 सेंमी 

                   घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठ=2(lb +bh +hl) =2 (10 x 8 +8 x 5 +10 x 5 )

                                                =2 (80 +40 +50 )=340वर्ग सेंमी  

                          अभीष्ट उत्तर =>340   घन सेंमी 

निष्कर्ष :- विभिन्न आकृतिओं का आयतन ज्ञात करके विभन्न प्रकार के वस्तुओ एवं क्षेत्रो के आकर -प्रकार का ज्ञान करके उन पर होने वाले व्यय की  गणना  की जाती  है जिससे सही -सही धन का उपयोग  किया जा सके।