mensuration formula , क्षेत्रमिति के सभी सूत्र

 mensuration formula , क्षेत्रमिति के सभी सूत्र   
                       

                                                                         

भूमिका:- प्रायः देखा जाता है की घरो ,खेतो ,पार्को ,बाग -बगीचों ,रोडो ,कार्ड बोर्डो, चित्रों या पेंटिग के फ्रेम   इत्यादि आकृतियां विभिन्न प्रकार की बनाई जाती है|  जिनके आकर -प्रकार हेतु  त्रिभुज ,आयत ,वर्ग ,चतुर्भुज ,समान्तर चतुर्भुज ,समचतुर्भुज के  क्षेत्रफल एवं परिमाप का अध्ययन किया जाता है | इस प्रकर विभिन्न बन्द आकृतियों की परिसीमा की लम्बाई भिन्न -भिन्न है तथा प्रत्येक बन्द आकृति अपने तल का कुछ निश्चित भाग घेरती है | इस प्रकार एक तलीय बन्द आकृति की परिसीमा की माप जिस भौतिक राशि से करते है उसे क्षेत्रफल कहते है तथा चारो ओर की दूरी को परिमाप कहते है जबकि क्षेत्रफल एक बन्द आकृति द्वारा घेरे गये तल के भाग या क्षेत्र को दर्शाता है | 

वर्ग का परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and area of square ):-

वर्ग का परिमाप:-चारो भुजाओं की लम्बाई के योग को वर्ग का परिमाप कहते है | 

  परिमाप=चारो भुजाओं के  योग                                          

                               =a +a +a +a        

                                  =  4  x a   

                                 =4 x भुजा 

वर्ग का क्षेत्रफल :-   आमने -सामने के भुजा का गुणनफल को  वर्ग का  क्षेत्रफल कहते है | 

                        वर्ग का क्षेत्रफल=भुजाx  भुजा =(भुजा )2

                                               =a2 

वर्ग का विकर्ण =√ 2    x भुजा 

आयत का परिमाप और क्षेत्रफल (Perimeter and area of  rectangle ):-

                                  

आयत का परिमाप :चारों भुजाओं की लम्बाई का योगफल ही आयत का परिमाप कहते | 

                   आयत का परिमाप =चारों भुजाओं की लम्बाई का योगफल

                   आयत की लम्बाई =  l   ,चौड़ाई = d 

                   आयत का परिमाप=  l  +l  +d +d

                                               =   2 l  +2 d 

                                               = 2(  l +d )

आयत का विकर्ण :-

                    आयत का विकर्ण =√ ( लम्बाई)2  +(चौड़ाई ) 2 

आयत का क्षेत्रफल :-दिये आयत के क्षेत्र की लम्बाई और चौड़ाई के गुणनफल को आयत का क्षेत्रफल कहते है |  इसका मात्रक वर्ग मीटर होता है  |  

                     आयत का क्षेत्रफल =लम्बाई x चौड़ाई 

                      लम्बाई = आयत का क्षेत्रफल /चौड़ाई  

                      चौड़ाई =आयत का क्षेत्रफल /लम्बाई  

क्षेत्रफल का अनुप्रयोग :-

(1 )आयताकार मार्ग का क्षेत्रफल:- (a ) जब रास्ता आयताकार क्षेत्र के अन्दर हो तो  हमे आयत के क्षेत्रफल की विधि को प्रयोग किया जाता है | 

 आकृति में रास्ता  पार्क के अन्दर की ओर है | अतः अन्दर बने भाग की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए रास्ते की चौड़ाई का दुगुना घटाकर अन्दर बने आयत की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करते है | 

आयताकार रास्ते का क्षेत्रफल =आयत ABCD का क्षेत्रफल -घास लगे भाग का क्षेत्रफल  

 (b )जब रास्ता आयताकार क्षेत्र के बाहर  तो  हमे आयत के क्षेत्रफल की विधि को प्रयोग किया जाता है | 

अतः बाहर बने रास्ते सहित भाग की लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करने के लिए रास्ते की चौड़ाई का दुगुना आयत की लम्बाई और चौड़ाई में जोड़ देते है | 

रासरे का क्षेत्रफल =आयत PQRS का क्षेत्रफल -पार्क ABCD का क्षेत्रफल  

(2 )आयताकार क्षेत्र के मध्य परस्पर लम्बवत काटने वाले मार्ग का क्षेत्रफल :-परस्पर काटने वाले मार्गों  का सम्पूर्ण क्षेत्रफल ज्ञात करने हेतु उभयनिष्ठ मार्ग का क्षेत्रफल मार्गों  के क्षेत्रफलों के योग में से घटा देते है | 

पथों का क्षेत्रफल =आयतPQRS का क्षेत्रफल +आयत EFGH का क्षेत्रफल -वर्ग KLMN का क्षेत्रफल 

                         = PS x PQ +EF x EH -KL x KN  

त्रिभुज का क्षेत्रफल :-वर्ग का विकर्ण उसे दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है इसने से प्रत्येक त्रिभुज का 

क्षेत्रफल वर्ग अथवा आयत के क्षेत्रफल का आधा होता है 

 

त्रिभुज का क्षेत्रफल =1 /2(आधार x ऊँचाई )

 

 त्रिभुज का आधार= 2  x त्रिभुज का क्षेत्रफल/ ऊँचाई   

        

 त्रिभुज का  ऊँचाई  = 2  x त्रिभुज का क्षेत्रफल/ आधार   

विषमबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =√ s (s -a) (s -b ) (s -c)  

   जहांa ,b ,c त्रिभुज की भुजाये तथा   s =a +b +c /2 

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =√ 3 /4     x (भुजा)2  

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =a /4 √ 4b2  -a2  

चतुर्भुज :-

समान्तर चतुर्भुज का क्षेत्रफल =आधार x ऊचाई 

              

 चतुर्भुज का क्षेत्रफल =1 /2 x विकर्णो का गुणनफल  

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल =1 /2 x समान्तर भुजाओ का योग x समान्तर भुजाओ के बीच की दूरी 

वृत्त (circle ):-

वृत्त की परिधि =2 πr  जहा r त्रिज्या है 

                       =π  x व्यास 

वृत्त का क्षेत्रफल =π r2 

वृत्त की त्रिज्या =व्यास /2 

विभिन्न परीक्षाओ में पूछे जाने वाले प्रश्न एवं हल :-

उदाहरण 1:- दिनेश 60 मी भुजा वाले वर्गाकार  पार्क के किनारे -किनारे 4 चक्कर लगता है उसके द्वारा चली गई दूरी ज्ञात कीजिए | 

हल :- वर्गाकार पार्क का परिमाप =4 x एक भुजा की लम्बाई 

                                                  =4 x 60 =240 मी 

          चार चक्कर में तय की गई दूरी = 4 x 240 =  9 6 o मी 

          अतः  अभीष्ट उत्तर => 9 6 o मी 

उदाहरण 2 :-किसी वर्गाकार भूखंड की एक भुजा 9 मी है तो भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | 

हल:-  वर्गाकार भूखंड का  क्षेत्रफल=   (भुजा)2 

                                                     = (9)2 =81 वर्ग मीटर  

            अतः  अभीष्ट उत्तर => 81 वर्ग मीटर  

उदाहरण 3  :-   एक  आयत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी लम्बाई 12 मी तथा चौड़ाई 8 मी है | 

हल:-  आयत का क्षेत्रफल =  लम्बाई x चौड़ाई   

                                       =    12 x 8 =   96 वर्ग मीटर  

          अतः  अभीष्ट उत्तर =>  96  वर्ग मीटर  

उदाहरण 4   :- एक आयताकार पार्क 45 मी लम्बा और 30 मी चौड़ा है | पार्क के बाहर चारों ओर एक 2. 5 मी चौड़ा एक पथ बनाया गया है | पथ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | 

हल :-

   

 ABCD आयताकार पार्क को और छायांकित क्षेत्र 2. 5 मीटर चौड़े पथ को दर्शाता है | 

पथ का क्षेत्रफल =आयत PQRS का क्षेत्रफल -आयत ABCD का क्षेत्रफल 

                    PQ की लम्बाई =45 +2. 5 +2. 5 =50 मीटर 

                    PS की चौड़ाई =30 +2. 5 +2. 5 =35 मीटर 

                     पथ का क्षेत्रफल=50 x 35 -45 x 30 

                                          =1750 -1350 =400 वर्ग मीटर 

                     अतः  अभीष्ट उत्तर => 400    वर्ग मीटर  

उदाहरण 5 :-70 मी लम्बाई और 45 मी चौड़ाई वाले एक आयताकार पार्क के मध्य से होकर 5 मी चौड़ाई के दो पथ, एकदूसरे पर लंबवत काटती है तो पथों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए  | 

  हल :-                       

पथों का क्षेत्रफल =आयत PQRS का क्षेत्रफल +आयत EFGH का क्षेत्रफल -वर्ग KLMN का क्षेत्रफल 

                          =PS x PQ +EF x EH -KL x KN 

                          =45 x 5 +70 x 5 -5 x 5 

                           =225 +350 -25 

                           =550 मीटर 

                           अतः  अभीष्ट उत्तर => 550  मीटर  

उदाहरण6  :-  एक त्रिभुज का आधार 5 सेमी और संगत ऊचाई 6 सेमी तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए |  

   हल :-  त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1 /2 x आधार x संगत ऊचाई  

                                        =1 /2 x 5 x 6 

                                        =15 वर्ग सेमी     

                                         अतः  अभीष्ट उत्तर =>  15 वर्ग सेमी   

   उदाहरण7   :-8 सेमी त्रिज्या के वृत्र की परिधि एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए | 

    हल :-वृत्र की परिधि =2 πr=2 π8 =16  π सेमी

             वृत्त का क्षेत्रफल =π r2 

                                    =π 8 2 

                                   =64 π वर्ग सेमी 

             अतः  अभीष्ट उत्तर => 16  π सेमी,64 π वर्ग सेमी   

निष्कर्ष :-किसी आकृति का क्षेत्रफल निकाल कर ,उसका उपयोग दैनिक जीवन में किया जाता है जैसे -बाग ,घर रोड, मैदान आदि के निर्माण में क्षेत्रफल की आवश्यकता होती है |