fraction and decimals भिन्न और दशमलव

                     fraction and decimals    भिन्न और दशमलव 

           भूमिका:- भिन्न एवं दशमलव के इकाई का प्रयोजन क्षेत्रो और वस्तुओं के संग्रहों के साथ संबध्द करते है, भिन्न किसी क्षेत्र के भाग को दर्शाता है | भिन्न का उपयोग वर्ग ,आयत ,वृत्त,  क्षेत्रफल तथा परिमेय संख्याओं आदि में किया जाता है | सभी  सम ,विषम ,भाज्य ,अभाज्य ,परिमेय ,पूर्णांक ,प्राकृतिक एवं क्रमागत संख्या आदि को भिन्न के रूप में व्यक्त किया जाता है  | दशमलव का भी उपयोग संख्या के वाया और दाया भाग का दर्शाया में किया जाता है | 

भिन्न ( fraction):-यदि कोई संख्या m /n के रूप में व्यक्त किया जाता है उसे भिन्न कहते है | यहां m /n में m और  n पूर्णांक संख्या है | परन्तु n ≠0 , भिन्न m /n में ऊपर की संख्या m को अंश (Numenator )तथा निचे की संख्या n को हर (Denominator )कहते है | 

यदि एक वृत्त 4 बराबर भागो में विभाजित है तो प्रत्येक भाग पुरे वृत्त का एक चौथाई है और प्रत्येक भाग अंश 1 /4 द्वारा दर्शाया गया है | 

भिन्नो का वर्गीकरण :-(1 )अंकगणितीय भिन्न 

                                  (2 )बीजगणितीय भिन्न            

 अंकगणितीय भिन्न के दो प्रकार के होते है -(1 )साधारण भिन्न 

                                                                (2 )दशमलव भिन्न 

  3 /7 ,3 /11 ,5 /13 ,7 /9    -7 /11  इत्यादि जैसी  भिन्नो को साधारण भिन्न कहते है | 

जिस भिन्न का हर 10 या 10 की घात हो तथा दशमलव पध्दति में लिखागया हो उसे दशमलव भिन्न कहते है|  जैसे 3/10 ,21 /100 ,17 /100   इत्यादि | 

  बीजगणितीय भिन्न  वह भिन्न होती है जिसका अंश या हर बीजीय व्यंजक हो या अंश तथा हर दोनों बीजीय व्यजक हो उसे बीजगणितीय भिन्न कहते है | जैसे -  5 / x +y , x /x +y   इत्यादि   | 

                                           
   भिन्नो के प्रकार :-,(1 )उचित भिन्न (Proper  fraction):-  सभी पूर्ण संख्याए के भिन्न का अंश उनके हर से कम होता है, उसे उचित भिन्न कहते है | जैसे -1 /3 ,2/ 5,8 / 9 ,11 /17 ,21 /29 ----- इत्यादि | 

 (2 )अनुचित भिन्न (Improper fraction ):-जब भिन्न का अंश हर से बड़ा या बराबर हो तो उसे अनुचित भिन्न कहते है | जैसे -9 /7 ,15 /11 ,16 /16 ------इत्यादि | 

(3 )मिश्रित भिन्न(Mixedfraction)  :- जिन भिन्न में पूर्ण संख्याए और उचित भिन्न के गुणनफल ही मिश्रित भिन्न कहते है | जैसे -₁⅑ , ₇⅗ ,  ₈⅘ ,   ₆⅖   इत्यादि | 

मिश्रित भिन्न =पूर्ण संख्या +अंश /हर =पूर्ण संख्या  x  हर/हर +अंश 

(4 )जटिल भिन्न (Complex fraction):- जिन भिन्नो में अंश और हर दोनों भिन्न हो ,उसे जटिल भिन्न कहते है | जैसे-    3 /5 /7 ,2 / 7 /9 ,11 /13 /15 /17-------- इत्यादि | 

 (5 )समतुल्य भिन्न (Equivalent fraction ):- समान मान  वाले भिन्न को समतुल्य भिन्न कहते है | जैसे -1 /3 ,2 /6 ,3 /9 ,4 /12 ,5 /15 ,6 /18 --------इत्यादि |  

(6 )समान भिन्न (Like fraction ):- जिन भिन्नो के हर समान हो उसे समान भिन्न कहते है | जैसे -1 /7 ,3 /7 ,5 /7 -----      इत्यादि | 

(7 )असमान भिन्न (Unlike fraction ):-जिन भिन्न में हर अलग -अलग होते है, उसे असमान भिन्न कहते है | जैसे -11 /13 ,11 /15 ,14 /17--------- इत्यादि |

(8 )व्युत्क्रम भिन्न (Reciprocal fraction ) :-किसी भिन्न के अंश और हर को आपस में बदल  देने पर जो दूसरी भिन्न प्राप्त होती है उसे व्युत्क्रम भिन्न कहते है ,किसी भिन्न और उसके व्युत्क्रम भिन्न का गुणनफल हमेसा 1 के बराबर होता है | जैसे- 3 /7 =7 /3 ,4 /11 =11 /4 --------इत्यादि| 

(9)वितत भिन्न (Continued fraction):-  वितत भिन्न की कोई निश्चित परिभाष नहीं होती है किन्तु यह भिन्न नीचे से हल की जाती है |जैसे -

भिन्नो के कुछ महत्वपूर्ण गुण :-(1 )यदि किसी भिन्न के अंश और हर दोनों में किसी एक ही संख्या से भाग या गुणा कर दे ,तो भिन्न के मान में कोई अन्तर नहीं आता है | 

 जैसे -3 ÷3 /9 ÷3 =1 /3 या 1 ×2 /2 ×2 =2 /4 या 4 ÷4/16 ÷ 4 =1 /4 

(2 )जब किसी एक भिन्न में दूसरी भिन्न से भाग करते है तो दूसरी भिन्न को उलट कर गुणा कर देते है |  जैसे -4 /7 ÷1 /7 =4 /7 x 7 /1 =4 

(3 )भिन्न के अंश और हर बराबर हो तो भिन्न का मान सदैव 1 होता है | जैसे -7 /7 =1 ,9 /9 =1 

(4 )यदि भिन्न में अंश शून्य हो तो भिन्न का मान शून्य होगा | जैसे -0 /6 =0 

भिन्नो के आधारभूत संक्रियाए :-   (1 ) जोड़ना  (Addition):-

(a )समान हर वाली भिन्न का  जोड़ -जैसे 1 /4 +1 /4 =1 +1 /4 =2 /4 =1 /2 

(b ) असमान हर वाली भिन्नो का जोड़ना -जैसे 1 /3 +1 /5        (हर का लघुत्तम समापवर्तक निकालेंगे )

                                                               1 /3 +1 /5 =8 /15 

(2 )घटाना(Subtraction ):- 

(a )समान हर वाली भिन्न को   घटाना -जैसे - 4 /8 -2 /8 =2 /8 =1 /4 

(b )असमान हर वाली भिन्नो का घटाना - जैस -2 /5 -1 /3 =6 -5 /15 =1 /15 

(3 ) गुणा(Multiplication ):-

(a ) पूर्णांक को पूर्णाकों में गुणा करना -जैसे -4 x 3 =12 ,6 x 5 =30 

(b )भिन्नात्मक संख्या को पूर्णांकों से गुणा करना -जैसे -1 /5 x 4 =4 /5 

(4 )भाग १/(Division ):-

(a )भिन्नात्मक संख्या को पूर्णांक से भाग देना -जैसे 1 /2 ÷2 =1 /2 x 2 =1 

(b)भिन्न  को  भिन्न से भाग करने पर -जैसे -1 /2 ÷3 /4 =1 /2 x 4 /3 =2 /3

भिन्नो का क्रम ( Fraction  of order) :-

(1 )आरोही क्रम (Ascending order ):-जबदो या दो से अधिक भिन्नो का बढ़ते क्रम में रखने की क्रिया को आरोही क्रम कहते है ,जिसमे सबसे छोटा भिन्न पहले और सबसे बड़ा भिन्न सबसे बाद में रखा जायेगा  | 

जैसे - 1 /5 ,3 /11 ,2 /7 ,4 /14 

(2 )अवरोही क्रम(Descending order):- जबदो या दो से अधिक भिन्नो का घटते  क्रम में रखने की क्रिया को अवरोही  क्रम कहते है ,जिसमे सबसे बड़ा  भिन्न पहले और सबसे छोटा  भिन्न सबसे बाद में रखा जायेगा  |

जैसे -11 /17 ,9 /14 ,5 /16 

भिन्नो की तुलना करना:-

 (1 )जिन भिन्नो के हर समान हो ,तब  जिस भिन्न का अंश बड़ा वह भिन्न बड़ी होगी ,जिस भिन्न का अंश छोटा है वह भिन्न छोटी होगी | जैसे 2 /11 ,3 /11 ,5 /11  में बड़ी भिन्न = 5 /11 और छोटी भिन्न =2 /11 

(2 )जिस   भिन्नो  अंश समान हो और हर छोटा -बड़ा हो तो ,जिसका हर छोटा होगा वह भिन्न बड़ी होगी ,जिसका हर बड़ा होगा वह भिन्न छोटी होगी | जैसे - 3 /2 ,3 /4में  3 /2 बड़ी और 3 /4 छोटी है | 

असमान भिन्न से समान भिन्न में बदलना :-हर का लघुत्तम समापवर्तक करते है | 

  जैसे- 3 /4 ,4 /5 ,7 /10 

हर का लघुत्तम समापवर्तक=4 x 5 x 10 = 20  =15 /20 ,16 /20 ,14 /20  उत्तर 

दो भिन्नो में भिन्न स्थापित करना:- यदि दो भिन्न a /b और c /d हो तो 

                                                         a /b <    a+c  /b+d < c /d 

   जैसे -3 /5 और 4 /7 में भिन्न स्थापित करे ,

=>5 और 7 का ल०स ० ज्ञात करना = 35 

                            3 /5 =3 x 7 /5 x 7 =21 /35 ,4 /7 =4 x 5 /7 x 5 =20 /35 

                                    20 /35 <21 /35 ,4 /7 <3 /5

                                   4 /7 और 3 /5 =4 +3 /7 +5 =  7 /12

                                    4/7 <7 /12 <3 /5

                                  4 /7 <4 +7 /7 +12 <7 /12 <3 /5 

                            4 /7 <7/7 <7 +3 /12 +5 <3 /5 =>4 /7 <7 /12 <10 /17 <3 /5 

                              11 /19 ,7 /12 या 7 /12 ,10 /17 

दशमलव भिन्न(Decimal fraction):- ऐसा भिन्न जिसका हर 10 या 10 के घात के रूप में हो उसे दशमलव भिन्न कहते है | 

जैसे -1 /10 =>0. 1 ,1 /100 =>0.01 ,9 /1000 =>0. 009

समान दशमलव ( Like decimal ):-  जिन संख्या में दशमलव समान स्थान पर हो तो उसे समान दशमलव कहते है | जैसे -13. 26 ,5.04 ,12. 6 ------इत्यादि | 

असमान दशमलव (Unlike decimal ):- जिन संख्याओं में दशमलव विभिन्न स्थानों पर लगे होते है ,उसे असमान दशमलव कहते है | जैसे -१४. 5 ,24. 20 ,10. 312 -------इत्यादि |

भिन्नो को दशमलव में बदलना  :-  भिन्न को दशमलव में बदलने के लिये अंश में हर से भाग देने पर दशमलव में बदल जाता है | जैसे -17 /1000 =>0. 017 ,25 91 /100 =>25 .91  

दशमलव को भिन्न में बदलना :-  दिये गये संख्या में दशमलव के नीचे 1 लिखकर तथा शेष अंको के नीचे शून्य लिखकर,भाग देकर भिन्न में बदल सकते है| जैसे -27. 50  =>27. 50/100

दशमलव की तुलना :- किसी दशमलव संख्या में पूर्णक संख्या बड़ी है तो वह संख्या बड़ी होती है | यदि पूर्णक संख्या बराबर है तो दहाई अंक बड़ा है, तो   वह संख्या बड़ी होगी| यदि दहाई अंक बराबर है तो सैकड़ा स्थान बड़ा है तो बड़ा | जैसे - 0. 50 या 0. 02 =>0. 50 >0. 02तथा 3. 84 और 3. 809 => 3. 84> 3. 809

आवर्ती दशमलव :-कभी -कभी एक गैर समापन दशमलव में एक अंक या अंको का समूह खुद को दोहराता है ऐसे दशमलव अवर्ती दशमलव कहते है | जैसे -2 /3 =>0. 666 ,. 2  /6 =0.333 ,17 /15 =1. 1333

गोल करने का नियम (Rules for rounding  off) :-  पूर्णांक बनाने के नियम को समझने के लिए किसी संख्या के पूर्णांक को दशमलव के 3 स्थानों तक सही करने दे | 

 यदि संख्या में दशमलव के दाये चार अंक होतो ,यदि 5 से अधिक होतो तीसरे अंक में जोड़ देते है और 5 से कम होने पर उसे शुध्य बनाने के लिए चौथ अंक छोड़ देते है| जैसे - 31. 3247 =>31.325 तथा 2.7992 =>2.799

विभिन्न परीक्षाओं में पूछे जाने वाले प्रश्न एवं उत्तर:- 

उदाहरण 1 :- निम्नलिखित भिन्नो को अवरोही क्रम में व्यवस्थित कीजिए | 

                        3 /5 ,7 /9 ,11 /13 

             हल:-       भिन्न को दशमलव में बदलना =>3 /5 =0. 6 ,7 /9 =0. 777 ,11 /13 =0. 846 

                            ∴            11 /13 ,7 /9 ,3 /5 

                           अतः अभीष्ट उत्तर => अवरोही क्रम  =11 /13 ,7 /9 ,3 /5 

उदाहरण 2  :- निम्नलिखित भिन्नो में सबसे  बड़ा एवं छोटा भिन्न ज्ञात  कीजिए |

                                   15 /16 ,19 /20 ,24 /25 ,34 /35 

               हल :- भिन्न को दशमलव में बदलना=>15 /16 =0. 937,19 /20 =0. 95 ,24 /25 =0. 96 ,                      

                                34 /35 =0. 971  

                        ∴  34 /35 >24 /25 >19 /20 >15 /16 

                        अतः सबसे बड़ा भिन्न 34 /35 तथा सबसे छोटा 15 /16 है 

                         अतः अभीष्ट उत्तर => सबसे बड़ा भिन्न 34 /35 तथा सबसे छोटा 15 /16 है

उदाहरण 3  :- निम्नलिखित भिन्नो को आरोही  क्रम में व्यवस्थित कीजिए | 

                                4 /5 ,7 /8 ,6 /7 ,5 /6 

                 हल:- भिन्न को दशमलव में बदलना=>4 /5 =0. 8 ,  7 /8 =0. 875  , 6 /7 =0. 857,5 /6= 0. 83 

                         आरोही  क्रम=>4 /5 ,5 /6 ,6 /7 ,7 /8 

                           अतः  अभीष्ट उत्तर =>4 /5 <5 /6< 6 /7< 7 /8 

उदाहरण 4  :- निम्न   0. 494949 ------ का मान ज्ञात  कीजिए | 

                          हल :-मान  X = 0. 494949 

                         ∴100X =  49 . 494949  

                          ∴100X-X = 49 

                            या 99 X =49 

                             या X =49 /99 

                            अतः अभीष्ट उत्तर =>49 /99 

उदाहरण 5   :- यदि 0. 23 ÷   p²   =  23  हो , तो p का मान ज्ञात कीजिए |  

                       हल :- प्रश्नानुसार    0. 23 ÷   p²   =  23   

                               0. 23/  p² = 23

                               p²  =    0. 23/  23  = 1 /100 

                                p  =1 /10 =0. 1 

                               अतः अभीष्ट उत्तर =>0. 1    

उदाहरण 6    :-  30 मिनट को एक दिन के भिन्न रूप में व्यक्त कीजिए ?

                      हल:-  1 दिन =24 घण्टा 

                               1 घण्टा =60 मिनट       

                                    ∵ 1 दिन =24 घण्टा 

                              ∴   1 दिन =24 x 60 =1440 मिनट 

                           भिन्न =30 /1440 =>1 /48 

                          अतः अभीष्ट उत्तर =>1 /48

   उदाहरण 7   :-   1 /11 का आवर्ती मान ज्ञात कीजिए | 

                      हल :- 1 /11 =0. 9090909090  = 0  . 09      ₁₁

                      अतः अभीष्ट उत्तर =>   0  . 09   

 उदाहरण 8   :-         0.  001       मान ज्ञात कीजिए  | 

                         हल:-    0.  001       =   1 /999 

                        अतः अभीष्ट उत्तर =>  1 /999  

  उदाहरण 9    :-   ( ₁½+₁₁½ +₁₁₁½ +₁₁₁₁½ )  का   मान ज्ञात कीजिए  |

                         हल :-  ( ₁½+₁₁½ +₁₁₁½ +₁₁₁₁½ )   

                                 =3 /2 +23 /2 +223 /2 +2223 /2 

                                 =1/2(  3 + 23 +223 +2223 ) 

                                 = 2472 /2 =1236 

                               .अतः अभीष्ट उत्तर =>  1236 

उदाहरण 10 :-   10 .  036     को साधारण भिन्न के  मान ज्ञात कीजिए |  

                    हल:-  1 0.036      =  10 + 0.036    

                             = 10 +36 -03/900

                             =  10 +33 /900 

                             =10 +11 /300 

                             =10 x 11 /300 

                              = ₁₀¹¹/₃₀₀

                            अतः अभीष्ट उत्तर =>  ₁₀¹ ¹/3 ₀₀

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निष्कर्ष:-  भिन्न और दशमलव से किसी व्यक्ति के समूह ,वस्तु ,क्षेत्र ,के आकर -प्रकार,दाये -बाये ऊपर -निचे  के भागो का अध्ययन किया जाता है |