:: quadratic polynomial /द्विघात बहुपद ::
भूमिका :- आइए हम बहुपदों में द्विघात पद के समीकरण में वास्तविक ,समान ,असमान ,काल्पनिक मूलो का
अध्ययन ,मूलो का योग ,गुणा ,द्विघात गुणनखण्ड तथा श्रीघराचार्य के सूत्र का अध्ययन किया गया है।
द्विघात बहुपद किसे कहते है ?
ऐसे बहुपदों जिसमें दो घात होते है ,उन्हें द्विघात बहुपद कहते है ,द्विघात बहुपद को a x2 + b x +c के रूप में
व्यक्त किया जाता है। जहां a ,b तथा c वास्तविक संख्याए है , a ≠ 0 और x एक चर पद है। a, b, c जो वास्तविक
संख्याए है ,को वास्तविक अचर भी कहा जाता है ,क्योकि वह नियत होते है। और ये चर पद x के मानो पर निर्भर
नहीं करते है। वे सभी परिमेय तथा अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ कहलाती है ,जैसे -3 ,2 ,0 ,√ 3,1 /3 ,2 /3
द्विघात समीकरण (quadratic equation ):- समीकरण p (x )=0 को जहां p(x ) एक द्विघात बहुपद है ,ऐसे
द्विघात समीकरण कहते है। व्यापक रूप से समीकरण ax2 +b x +c =0 जहां a ≠ 0 तथा a ,b ,c वास्तविक
संख्याएँ है ,चर राशि x में एक द्विघात समीकरण कहते है।
आइए द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए |
द्विघात समीकरण के मूल ( root of a quadratic equation):- यदि संख्याएँ αऔर β द्विघात बहुपद
समीकरण P (x )के दो शून्यक हो, तो इसे यह ज्ञात होता है कि αऔर β संगत द्विघात समीकरण के मूल है। यदि
वर्ग समीकरण a x2 + b x +c =0 है तथा मूल αऔर β है तो
α= -b +√ b2 -4ac /2a और β= -b - √ b2 -4ac /2a के मूल है।
विविक्तकर सूत्र ( discriminant formula ):-द्विघात समीकरण ax2 +b x +c =0 जहां a ≠ 0 ,यह
अभिव्यक्ति b 2 - 4ac को विविक्तकर कहलाता है ,इसे D से प्रदर्शित करते है।
मूलो के प्रकृति की जाँच (Examine the nuture of the roots ) या मूलो के लक्षण :-
विविक्तकर b 2 - 4ac के मान पर द्विघात समीकरण के मूल निर्भर करते है| यदि a,b तथा c वास्तविक संख्या
हो ,तब विविक्तकर होगा।
(1 ) यदि b 2 - 4ac =0 हो ,द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते है।
(2 ) b 2 - 4ac > 0 (धनात्मक ) हो ,द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और असमान होते है।
(3 ) b 2 - 4ac < 0 (ऋणात्मक ) हो ,द्विघात समीकरण के दोनों मूल अधिकल्पित होते है।
(4 ) b 2 - 4ac पूर्ण वर्ग हो ,द्विघात समीकरण के दोनों मूल पूर्णांक और असमान होते है।
(5 ) b 2 - 4ac अपूर्ण वर्ग हो ,द्विघात समीकरण के दोनों मूल अपरिमेय औरअसमान होते है।
उदाहरण1 :- दिये गये द्विघात समीकरण 5 x2 - 6 x +7 =0 हो तो कौन विविक्तकर मूल है ?
हल :- दिये गये है ,a =5 ,b = -6 ,c =7
विविक्तकर( D )= b 2 - 4ac = ( -6) 2 - 4 x 5 x 7
=36 - 140 = -104 (यह ऋणात्मक ) इसलिए इसे मूल वास्तविक नहीं है
मूल अधिकल्पित होते है।
उदाहरण2 :-- दिये गये द्विघात समीकरण x2 + 6 x +9 =0 हो तो कौन विविक्तकर मूल है ?
हल :- दिये गये है ,a =1 ,b =6 ,c =9
विविक्तकर( D )= b 2 - 4ac = ( 6) 2 - 4 x 1 x 9
=36 -36 = 0 (यह शून्य ) , इसलिए दिये द्विघात समीकरण के दोनों मूल वास्तविक और समान होते है।
हल :- दिये गये है ,a =2 ,b =6 ,c =3
विविक्तकर( D )= b 2 - 4ac = ( 6) 2 - 4 x 2 x 3
=36 -24 = 12 (यह धनात्मक ) , इसलिए दिये द्विघात समीकरण के दोनों मूल
वास्तविक और असमान होते है।
मूलों का योगफल ( sum of roots ):-माना द्विघात समीकरण a x2 + b x +c =0 है तथा मूल αऔर β है और
समीकरण का विविक्तकर D = b 2 - 4ac ≥ 0 है तब मूलों का योगफल है |
α+ β = -b /a
मूलों का गुणनफल ( Product of roots ):-माना द्विघात समीकरण a x2 + b x +c =0 है तथा
मूल αऔर β है और समीकरण का विविक्तकर D = b 2 - 4ac ≥ 0 है तब मूलों का गुणनफल है |
α . β = c /a
द्विघात समीकरण का सूत्र द्वारा हल (solving a quadratic equation by formula):- दिये गये
समीकरण ax2 +b x +c =0 जहां a ≠ 0 तथा a ,b ,c वास्तविक संख्याएँ हो तथा दिया गया समीकरण द्विघात
समीकरण को श्रीधराचार्य के नियम कहते है।
श्रीधराचार्य का सूत्र => x = - b ± √ b2 -4ac /2a
उदाहरण 4 :- द्विघात समीकरण 5x2 - 31 x +30 =0 को हल कीजिए।
हल :-द्विघात समीकरण 5x2 - 31 x +30 =0 की तु)लना a x2 + b x +c =0 करने पर a =5 ,b = -31 ,c =30
सूत्र = x = - b ± √ b2 -4ac /2a = -(-31) ±√ (-31) 2 - 4x 5 x 30 /2x 5
= 31 ± √ 361 / 10
=31 ±19 /10,
धनात्मक मान लेने पर x =50 /10 = 5
ऋणात्मक मान लेने पर x =12 /10
अभीष्ट उत्तर => दिये गये समीकरण के दो मूल 5 तथा 12 /10 है
गुणनखण्ड द्वारा द्विघात समीकरण हल करना (Solution of quadratic equation by factorization
गुणनखण्ड विधि द्विघात समीकरण हल करने की सबसे सरल विधि है इसमें सर्वप्रथम दिए गए समीकरण से
गुणनखण्ड करते है जिसके बाद में समीकरण के मूल प्राप्त हो जाते है।
(1 )यदि आवश्यक हो तो सभी भिन्न और कोष्ठकों को हटा दे।
(2 )समीकरण प्राप्त करने के लिए सभी पदों को बाई ओर स्थानान्तरित करे।
(3 )बायीं और के व्यंजक का गुणनखण्ड कीजिए।
(4 )प्रत्येक गुणनखण्ड को शून्य (Zero product rule )के बराबर रखे और हल करे।
उदाहरण :- 3 x2 - 14 x -5 =0 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल:- द्विघात समीकरण दिये है, 3 x2 - 14 x -5 =0
=> 3 x2 - ( 15 -1 ) x -5 =0
=> 3 x2 - 15x + x -5 =0
=> 3x ( x - 5 ) +1 ( x -5) =0
=>(3x +1)(x -5 )=0
=> x =5 ,x = -1 /3
अभीष्ट उत्तर=>द्विघात समीकरण के दो मूल 5 और -1 /3 है।
दिये मूल से द्विघात समीकरण बनाना :-यदि द्विघात समीकरण के मूल α और β हो तो
( x - α ) (x - β) =0
x2 - ( α+ β) x + α β =0
या x2 - ( मूलो का योगफल ) x + (मूलोका गुणनफल ) = 0
द्विघात बहुपद का गुणनखण्ड :-यदि द्विघात बहुपद 3 x2 +5 x +2 हो तो
α= -b +√ b2 -4ac /2a
= -5 +√ 5)2 -4x 3 x 2 /2x 3
= -5 +1 /6 = -2 /3
β= -5 - √ (5) 2 -4x 3 x 2 /2x 3
= -5 -1 /6 = -1
नियम:- α (x -α )( x - β) = 3 [ x - ( -2 /3)] [x -(-1 )]
= 3(x +2 /3 )(x +1 )
= (3x +2) ( x +1)
अभीष्ट उत्तर=>अतः गुणनखण्ड = (3x +2) ( x +1)
विभिन्न परीक्षाओं में पूछे जाने वाले प्रश्न एवं हल :-
उदाहरण 1 :- 2 x2 - 7 x = 39 के मूल ज्ञात कीजिए।
हल:- द्विघात समीकरण दिये है, 2 x2 - 7 x =39
=> 2 x2 - 7 x - 39 =0
=> 2 x2 - 13 x +6 x -39 =0
=> x ( 2 x - 13 ) +3 (2 x -13 ) =0
=>(x +3 )( 2 x -13 )=0
=> x = -3 ,x = 13 /2
अभीष्ट उत्तर=>द्विघात समीकरण के दो मूल -3 और 13 /2 है।
उदाहरण2:- द्विघात समीकरण के दो मूल (-2 ,3 ) है तो द्विघात समीकरण ज्ञात कीजिए।
हल:- नियम => x2 - ( α+ β) x + α β =0
x2 - ( -2 +3 ) x + -2 x 3 =0
x2 - x -6 =0
अभीष्ट उत्तर=>द्विघात समीकरण => x2 - x -6 =0
उदाहरण3 :- वर्ग समीकरण 2 x2 + x +1 = 0 के मूलो के व्युत्क्रम का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
हल:- माना एक मूल α और दूसरा मूल β है।.जहां a = 2 , c =1
α . β = c /a =1 /2
∴ 1 /α . β = 2 /1 =2
अभीष्ट उत्तर=>2
उदाहरण4 :- वर्ग समीकरण 2 x2 -7 x +12 = 0 के मूलो α और β है ,तो α2 + β2 के मान ज्ञात कीजिए ।
हल:- दिये गये समीकरण 2 x2 -7 x +12 = 0 में है ,a =1 ,b = -7 ,c =12
α + β = -b /a = -(-7 )/ 1 =7
α . β = c /a = 12 /1 =12
∴ (α + β)2 =α2 + β2 + 2 α β = 49
α2 + β2 + 2 x 12 = 49
α2 + β2 = 49 -24 = 25
अभीष्ट उत्तर=> 25
उदाहरण5 :- वर्ग समीकरण x2 -3 x +k = 10 के मूलो α . β= -2 है ,तो k का मान ज्ञात कीजिए ।
हल :- दिये गये समीकरण x2 -3 x +k - 10 =0
मूलो का गुणनफल (α . β ) = k -10
-2 = k -10
k =8
अभीष्ट उत्तर=>8
उदाहरण 6 :- द्विघात समीकरण 5x2 - 2 x -3 =0 को हल कीजिए।
हल :-द्विघात समीकरण 5x2 - 2 x -3 =0 की तुलना a x2 + b x +c =0 करने पर a =5 ,b = -2 ,c = -3
सूत्र = x = - b ± √ b2 -4ac /2a = -(-2 ) ±√ (-2 )2 - 4x 5 x- 3 /2x 5
= 2 ± √ 64 / 10
=2 ±8 /10,
धनात्मक मान लेने पर x =10 /10 = 1
ऋणात्मक मान लेने पर x = -6 /10 = -3 /5
अभीष्ट उत्तर => दिये गये समीकरण के दो मूल 1 तथा -3 /5 है
उदाहरण 7 :- द्विघात समीकरण x2 - 18 x +77 =0 को हल कीजिए।
हल :-द्विघात समीकरण x2 - 18 x +77 =0 की तुलना a x2 + b x +c =0 करने पर a =1 ,b = -18 ,c = 77
सूत्र = x = - b ± √ b2 -4ac /2a = -(-18 ) ±√ (-18 )2 - 4x 1 x77 /2x 1
= 18 ± √ 16 / 2
=18 ±4 /2 ,
धनात्मक मान लेने पर x =22 /2 = 11
ऋणात्मक मान लेने पर x = 14 /2 = 7
अभीष्ट उत्तर => दिये गये समीकरण के दो मूल 11 तथा 7 है
उदाहरण 8 :- द्विघात समीकरण 2 x4 - 5 x2 +3 =0 को कम करने योग्य समीकरण में लिखिए।
हल :- माना x2 = y
= 2 y 2 - 5 y +3 =0
= 2 y 2 - ( 6 -1) y +3 =0
=(y -1 ) (2y -3)
जब y = x2 = 1 = ±1
y =3 /2 = x2 => ± √ 3 / 2 x √ 2 / √ 2 =± √ 6 /2
अभीष्ट उत्तर =>Required solution => 1 , -1 , +√ 6 / 2 , -√ 6 / 2
निष्कर्ष :- द्विघात समीकरण में वास्तविक ,समान ,असमान ,काल्पनिक मूलो का अध्ययन ,मूलो का योग ,गुणा
,द्विघात गुणनखण्ड तथा श्रीघराचार्य के सूत्र का अनुप्रयोग को विस्तृत जानकारी दी गयी है ।
0 Comments