-:: क्रमचय और संचय सूत्र / permutations and combinations formula::-
भूमिका :- किसी वस्तुओ ,समुदाओं , संख्याओं , अवयवों एवं भिन्नों में से सभी या कुछ को एक सुव्यस्तित ,सरल ढंग से लिख कर उनक निष्कर्ष , उनके नियम एवं मूल सिद्वांतो को ज्ञात करना तथा विभिन्न परीक्षाओं में पूछे गये प्रश्नो को हल करना जानेगे।
क्रमचय ( permutation) क्या है?
किसी दीं हुई वस्तुओं में से कुछ अथवा सभी वस्तुओं को एक साथ लेकर जितने भिन्न -भिन्न क्रमों में रखने के तरीको में से ,प्रत्येक तरीक क्रमचय कहलाता है।
संचय ( combination) क्या है?
दी हुई वस्तुओं में से ,क्रम का ध्यान न रखते हुए ,कुछ या सब लेकर जितने भी भिन्न -भिन्न समुदाय बनाये जा सके ,उसमे से प्रत्येक समुदाय को संचय कहते है।
उदाहरण:- a ,b, c में से दो को लेकर तीन ग्रुप बनाकर क्रमचय एवं संचय ज्ञात कीजिए .
हल :-ab, bc और ca संचयो की संख्या = 3 और तीन समुदायों के सदस्यों को क्रम बदलकर निम्न तरह से रख सकते है (a,b) (b,a) (b,c) (c.b )(c,a) (a,c)अर्थात क्रमचयों की संख्या =6 है
फैक्टोरियल ( n) :- इसका मतलब है कि क्रम गुणित n अर्थात nसे 1तक संख्याओं का आपस में गुणा ही फैक्टोरियल कहलाता है ..
n ! =n(n-1)(n-2)(n-3)----------------x3x2x1
10 !=10 (10-1) ( 10-2) (10-3) (10-4) (10-5) (10-6) (10-7) (10-8) (10-9)
10! =10 x9x8 x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1
या 10! =1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
गुणन सिध्दान्त :- यदि कोई कार्य mप्रकार से पूर्ण किया जाता है और दूसरा कार्य nप्रकार से पूर्ण किया जाता है तो दोनों कार्य साथ -साथ किये जाय तब वे mxnभिन्न प्रकार से हो सकते है | यदि यह सिध्दान्त दो से अधिक कार्यों के लिए सत्य है |अर्थात चार के लिए एक साथ m x n x p x q प्रकार से पूर्ण किया जा सकता है
उदाहरण :- 10 विज्ञान और 8हिन्दी की पुस्तकों में से कितनी विधियों से एक विज्ञान और एक हिन्दी की पुस्तक छांटी जा सकती है ?
हल:- एक विज्ञान की पुस्तक 10तरह से और एक हिन्दी की पुस्तक 8तरह से छांटी जा सकती है |
विज्ञान की एक पुस्तक छांटने की एक विधि के लिए एक हिन्दी की पुस्त||क छांटने की 8विधियां है |
अतः एक विज्ञान तथा एक हिन्दी की पुस्तक छांटने की कुल अभीष्ट विधियां = 10 x 8=80
n विभिन्न वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या ज्ञात करना :- (जबकि एक बार में r वस्तुएँ ली जाय )
जबकि एक बार में r वस्तुएँ ली जाती है तोइसे n P k से प्रदर्शित करते है ,
n P k = n(n-1)(n-2)(n-3)------(n-r+1)
n P k = n! / n!-r ,जहां n!को फैक्टोरियल n कहते है|
सूत्र 1 :-यदि nवस्तुओं में से सबको एक साथ लेकर क्रमचय बनाना हो तो कुल क्रमचयों की संख्या = n!
n!=n(n-1)(n-2)(n-3) ---------3,2,1
सूत्र 2:- 0!=1
सूत्र 3:- nविभिन्न वस्तुओं में से rवस्तुएँ एक साथ लेकर बनाये गये क्रमचयों की संख्या जबकि एक विशेष वस्तु हर क्रमचय में हो तो |कुल विभिन्न क्रमचयों की संख्या = n-1r p-1
सूत्र 4:- n असमान वस्तुओं में से वस्तुओं के कितने भिन्न विन्यास होंगे जब उनमे से किसी एक को कभी नहीं लेना है ?
क्रमचयों की कुल संख्या = n-1 P r
सूत्र 5:- n P r = n-1 P r + r n-1 P r
सूत्र6:- n P r = n n-1 P r-1
सूत्र6:- n P 0 = 0
उदाहरण:- 8 P 4 का मान ज्ञात कीजिए |
हल :-8 P 4 = 8! /8!-4
= 8 x7 x6 x5 rx4 x3 x2 x1 /4 x3 x2 x1= 8 x7 x6 x5
= 1680
अभीष्ट उत्तर=> 1680
संचय सूत्र (combinations formula):-
यदि nवस्तुओं में से rवस्तुएँ एक साथ लेकर बनाये गये सभी सम्भव संचयो की संख्या को n C r से प्रदर्शित करते है |
सूत्र :- nअसमान वस्तुओं में से r वस्तुएं एक साथ लेकर बनाये गये विभिन्न प्रकार के समूह बनाये जायं तो
कुल संचयो की संख्या = n C r = n! / r! n!-r
सूत्र :- n C r = n C n-r
सूत्र :- n C r + n C n-1 = n +1 C r
सूत्र :- n C 1 =1
सूत्र :- n C 0 =1
उदाहरण :- 8 वस्तुओँ में से 5वस्तुएँ लेने के संचयों की संख्या ज्ञात कीजिए |
हल :- कुल संचयो की संख्या = n C r = n! / r! n!-r
8 C 5 = 8! / 5! 8!-5
=8!/ 5! 3!= 8x7x6x5x4x3x2x1/5x4x3x2x1x3x2x1
= 8x7x6/3x2x1=336/6= 56
अभीष्ट उत्तर =>56
विभिन्न परीक्षओं में पूछे गये एवं पूछे जाने वाले प्रश्न तथा उत्तर :-
उदाहरण1:- 6 P 4 का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- n P k = n! / n!-r
n P k = 6!/ 6!-4
= 6!/2! =6x5x4x3x2x1/2x1x
=360
अभीष्ट उत्तर =>360
उदाहरण2 :- 12 P r = 1320 में r का मान ज्ञात कीजिए।
हल:- दिया है 12 P r = 1320 = 1320 =12 x 11 x 10
12 P 3 = 12! / 12!-3
= 12 x11 x10 x9! /9!
∴ r =3
अभीष्ट उत्तर =>3
उदाहरण3:- शब्द INDIA के सभी अक्षरों को लेकर कितने शब्द बनाये जा सकते है ?
हल :- शब्द INDIA में कुल पांच अक्षर है ,जिसमें दो अक्षर I है।
अतः अभीष्ट शब्दों की संख्या =5 ! / 2 !
= 5 x4 x3 x2 x1 /2 x1= 60
अभीष्ट उत्तर =>60
उदाहरण4:- शब्द SUNDAY के सभी अक्षरों को लेकर कितने शब्द बनाये जा सकते है ?
हल :- शब्द SUNDAY में कुल 6 अक्षर है |
सभी अक्षरों को लेकर बनाये गये शब्दों की संख्या =
6 P 6 = 6 != 6 x5 x4 x3 x2 x1=720
अभीष्ट उत्तर =>720
उदाहरण5 :- 19 C 16 का मान ज्ञात कीजिए।
हल:- n C r = n! / r! n!-r
19 C 16 = 19! /16! 19!-16
= 19! /16! 3!
= 19x18x17x16!/16! 3!
= 19x18x17/3x2x1
= 969
अभीष्ट उत्तर =>969
उदाहरण6 :- 10 C r = 10 C r+6 में r का मान ज्ञात कीजिए।
हल :- दिया है , 10 C r = 10 C r+6
10 C 10-r = 10 C r+6
या 10-r = r+6
-r-r = 6-10 = -4
2r =4 => 2
अभीष्ट उत्तर =>2
उदाहरण 7 :- 13 फुटबाल के खिलाड़ियों में 11 खिलाड़ी कितने प्रकार से चुने जा सकते है ?
हल:- 13 फुटबाल के 11 खिलाड़ी चुनने कुल प्रकार =13 C 11
=13 C13 -11 = 13 C2
= 13! /!3! 2 =13x12x11! /11!
= 13x12 /2 = 78
अभीष्ट उत्तर =>78
उदाहरण 8 :- 4 मनुष्यों में से 2 मनुष्यों की समिति कितने प्रकार से बनाई जा सकते है ?
हल:- 4 मनुष्यों में से 2 मनुष्यों की समिति निम्न प्रकार से बनाई जा सकते है
=4 C2 = 4! /2! 4!-2=4!/2! 2
=4 x3 x2!/2!2 x1 =12/2=6
अभीष्ट उत्तर =>6
उदाहरण 9 :- शब्द VOWELS से कितने शब्द बन सकते है ,जो O से प्रारम्भ तथा L पर समाप्त होते है ?
हल ;-शब्द VOWELS में से O से L तक केवल 4 अक्षरो को व्यवस्तित करने की विधियाँ = 4 P 4
= 4 !=4 x3 x2 x1=24
अभीष्ट उत्तर =>24
उदाहरण 10 :- सात लड़कियों को गोलाई में नाचना है ,वृत्त की परिधि पर कितने विभिन्न से तरीकों से उनको खड़ा किया जा सकता है ?
हल :-दिये गये प्रश्न में कोई भेद नहीं है कि लड़कियों को दक्षिणा वर्त और बामावर्त के क्रम से खड़ा होना है। इसलिए अभीष्ट क्रमचय होगा।
अभीष्ट क्रमचय=1/2 (n-1)! =1/2(7-1)!
= 1/2x6!=6 x5 x4 x3 x2 x1/2
= 360
अभीष्ट उत्तर =>360
निष्कर्ष :- निष्कर्ष से ज्ञात हुआ कि क्रमचय और संचय के विभिन्न विधि एवं सूत्र द्वारा किसी वस्तुओ ,समुदाओं , संख्याओं , अवयवों एवं भिन्नों में से सभी या कुछ को एक सुव्यस्तित ,सरल ढंग से लिखा जाता है तथा उनकी संख्या भी ज्ञात हो जाती है।
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