, polynomials / बहुपद किसे कहते हैं
भूमिका :- किसी चर ,अचर राशि को बीजगणित में गुणा ,भागा जोड़ एवं घटाव को बीजीय व्यंजको को एक संयोजित करके ,उनका ठीक प्रकार से उपयोग करना तथा विभिन्न बहुपद का अध्ययन किया गया है ।
बहुपद किसे कहते हैं ? बहुपद वह है जिसमें +और -चिन्हों से संबध्द पदों के व्यंजक
को बहुपद कहतेहै| जिसका उपयोग ऐसे व्यंजक के लिए किया जाता। ,जिसके पदों में किसी एक चर राशि ,या ऐसी एक से अधिक चर राशियों के शून्य अथवा पूर्णांक घात आरोही या अवरोही क्रम में लिखा हो।
फलक P(x )=a० + a1X+ a2 X2 + ---------------------- a n Xn जहाँ a n ≠ 0 , a० , a1, a2 ,---- a n
(जहां a० , a1, a2 ,---- a n वास्तविक संख्याएँ है )और n एक ऋणोत्तर पूर्णांक है। को वास्तविक संख्याओं पर चर x में n घात का बहुपद कहते है।
बहुपद के गुणांक एवं घात (Coefficients and degree of polynomial ):- वास्तविक संख्याओं a० , a1, a2 ,---- a n को बहुपद के गुणांक कहते है। किसी बहुपद में सबसे बड़े वाले पद के घातांक को बहुपद का घात कहते है। बहुपद के उदाहरण नीचे दिये गये है|
- एक घात का बहुपद P(x )=3 +x
- द्विघात घात का बहुपद P(x )= 4 +3x +x2
- घन बहुपद P(x )=1 + 2x +4 x 2 +6 x 3
- चतुर्थघात बहुपद P (x )= √ 2 - √ 3 x + x 2 +3x4
एक पदीय बहुपद (Monomial polynomial )) :- जिस बहुपद में केवल एक ही पद हो उसे एकपदीय बहुपद कहते है।
जैसे -P(x )=4x , q (x )=3x 2
एक पदीय बहुपद का जोड़ ,घटाव ,गुणा एवं भगा की विधि :-
जोड़ :- उदाहरण - 3x में 2x का योग ज्ञात कीजिए।
हल - प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
3x +2x =5x 3x
+2x
_______
5x
अभीष्ट उत्तर =>5x
घटाव :- उदाहरण - 9 x से 2x को घटाइए।
हल - प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
9 x -2x =7 x 9 x
- 2x
_______
7 x
अभीष्ट उत्तर =>7x
गुणा :- उदाहरण - 9 x को 2xसे गुणा कीजिए ।
हल - प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
9 X x 2X =18 X 2 9 x
x 2x
_______
18 X 2
अभीष्ट उत्तर => 18 X 2
गुणा :- उदाहरण - 18 x में 2xसे भाग कीजिए ।
हल - प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
18 x ÷ 2x =9 2x )18 x ( 9
18x
________
x x
अभीष्ट उत्तर=> 9
द्विपद बहुपद (Binomial polynomial ):- जिस बहुपद में दो पद हो उसे द्विपद बहुपद कहते है।
जैसे-P (x )=2x 2 +3 x 3
उदाहरण:- 5xy और 3 x 2 +xy का गुणा कीजिए।
हल :- प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
5xy × ( 3 x 2 + x y) 3 x 2 +x y
5 x × y ( 3 x 2 + x y) × 5xy
15 x 3 y +5 x 2 y 2 __________
15 x 3 y +5 x 2 y 2
अभीष्ट उत्तर=> 15 x 3 y +5 x 2 y 2
उदाहरण:-2x +3y और 3x -4y का गुणा कीजिए।
प्रथम विधि (पंक्ति ) द्वितीय विधि (स्तम्भ )
2x +3y × ( 3 x - 4 y) 2 x2 +3 y
( 2 x +3 y) ( 3 x - 4 y) × 3 x - 4 y
( 2 x ( 3 x - 4 y) +3 y ( 3 x - 4 y) ____________
6x 2 +x y -12 y 2 6x 2 +9 x y
- 8 x y -12 y 2
___________________ 6x 2 +x y -12 y 2
अभीष्ट उत्तर=> 6x 2 +x y -12 y 2
त्रिपद बहुपद(Trinomial polynomial ):- जिन बहुपद में तीन पद हो उसे त्रिपद बहुपद कहते है।
जैसे -P (x )=x 2 -2x +3 , q(x )= x 3 - 2x 2 +1
शून्य बहुपद (Zero polynomial ):-जिस बहुपद में सभी गुणांक शून्य हो ,तो शून्य बहुपद कहते है।
उदाहरण:- निचे दिये गये बहुपदों का योग ज्ञात कीजिए।
y 2 +3 y +1 , y 3 + 4 y 2 -2y + 4
हल:- दिया है y 2 +3 y +1 , y 3 + 4 y 2 -2y + 4
= y 2 +3 y +1 + y 3 + 4 y 2 -2y + 4
= 5 y 2 + y 3 + y +5
= y 3 + 5 y 2 + y +5
अभीष्ट उत्तर=> y 3 + 5 y 2 + y +5
उदाहरण:-बहुपद y 2 +3 y +6 में से बहुपद y 2 +2 घटाइए।
हल :- मानाP(y )= y 2 +3 y +6 ,q(y )= y 2 +2
P(y )= y 2 +3 y +6
q(y )= y 2 +2
- -
____________
3y +4
अभीष्ट उत्तर=> 3y +4
उदाहरण:- -6 y 2 +17 y -12 में 2y -3 से भाग दीजिए।
हल :-
_________________
2y -3 ) -6 y 2 +17 y -12 ( -3y +4
-6 y 2 +9 y
+ -
__________________
8y -12
8y - 12
- +
_________________
0 0
अभीष्ट उत्तर=> -3y +4
बहुपदों के महत्तम समापवर्तक तथा लघुत्तम समापवर्तक :-
अपवर्तक (Facter ):- यदि कोई अक्षर ,संख्या एवं व्यंजक ,किसी दिए गए व्यंजक को पूरी -पूरी विभाजित करता
है उसे अपवर्तक कहते है। जैसे -21 के अपवर्तक =1 ,3 ,7 और y 3 के अपवर्तक y और y 2 है
समापवर्तक(Common facter ):- यदि कोई संख्या ,अक्षर ,पद दो या दो से अधिक पदों ,संख्याओं ,को
पूर्णतया विभाजित करती है उसे समापवर्तक कहते है। जैसे-2 y 2 और 6 y 3 के समापवर्तक 2 ,y ,y 2 है |
महत्तम समापवर्तक (Highest common factor ):-दो या दो से अधिक बहुपद व्यंजकों का महत्तम समापवर्तक
वह वह बड़ा से बड़ा व्यंजक जो दिये गये बहुपदी व्यंजकों को पूरा -पूरा विभाजित कर देता है। जैसे - y 3
और y 2 का महत्तम समापवर्तक y 2 है क्योकि y 2 से विभजित हो जाता है | बहुपदी व्यंजकों का म. स.
निकालने में यदि कोई भी गुणनफल सर्वनिष्ठ न हो ,तो म. स. प. 1 होता है|
लघुत्तम समापवर्त्य (Lowest common multiple ):-दो या दो से अधिक बहुपदी व्यंजकों का लघुत्तम
समापवर्त्य वह छोटी -छोटी व्यंजक है जो दिये गये व्यंजकों में से प्रत्येक से विभजित हो जाता है।
जैसे 2 y 2 और 6 y 4 का लघुत्तम समापवर्त्य 6 y 4 है।
समापवर्त्य (common multiple) :- दो या दो से अधिक पदों से जो अलग -अलग पूर्णतया विभाजित हो जाते है
उसे समापवर्त्य कहते है।
उदाहरण:- 2x 2 + x -1 , 2x 2 -5 x +2 और x 2 - x -2 का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात कीजिए।
हल:- 2x 2 + x -1 =>2x 2 + x(2-1) -1 =>2x 2 + 2x -1x -1=> (2x -1) (x +1)
2x 2 -5 x +2 =>2x 2 - ( 4+1) x +2=>2x 2 - 4x -x +2=>(2x -1)(x -2 )
x 2 - x -2 => x 2 -( 2 -1) x -2 =>x 2 - 2x + x -2 =>(x +1)( x -2 )
अभीष्ट उत्तर =>(x +1 ) (x -2 ) (2x -2 )
उदाहरण:- x 2 + 2 x +1 और x 2 - 2 x +1 का महत्तम समापवर्तक ज्ञात कीजिए।
हल:- x 2 + 2 x +1 => x 2 + x + x +1=>x (x +1 )+1 (x +1 )=>(x +1 )(x +1 )
x 2 - 2 x +1=> x 2 - (x + x) +1=>x 2 - (x + x) +1=>x 2 - x - x +1
=>x(x -1 ) -1 (x -1 )=> (x -1 )(x -1 )
चूकि दोनों व्यंजको के गुणनफलों में कोई भी खण्ड सवरनिष्ठ नहीं है
∴ महत्तम समापवर्तक=> 1
अभीष्ट उत्तर => म.
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निष्कर्ष :-बहुपदी में एकपदीय ,द्विपद ,त्रिपद ,शून्य पद तथा ल. स. एवं म. स. द्वारा किसी चर राशियों अथवा धन
पूर्णांक घात आरोही ,अवरोही क्रम में व्यक्त करने की सही -सही विधि ज्ञात हो जाती है।
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