indices and surds, घातांक एवं करणी के नियम

                                                                             

indices and surds, घातांक एवं करणी के नियम                                                                              भूमिका:- दैनिक जीवन में अनेक प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग होता है | जिसमे सबसे बड़ी कोई संख्या नहीं होती है ,क्यों कि  सूर्य ,पृथवी ,तारे ,ग्रह की दूरी पढ़ना , लिखना आसान एवं सरल नहीं होता है ऐसी  अन्य बहुत बड़ी संख्याओं को पढ़ना समझना ,अंतर् ज्ञात करना और उनकी तुलना करना कठिन है |अतः इन संख्याओं को सरलता से पढ़ना, समझना  एवं आपस में तुलना करने के लिए हम घातांको  का प्रयोग किया जाता है |जिसके माध्यम से बड़ी से बड़ी प्राकृतिक संख्याओं को आसानी से पढ़ा  एवंलिखा जा सकता है | किसी संख्या के ऊपर जो संख्या लिखी जाती है ,उसे घात कहते है | घात ,वर्ग ,घन का दैनिक जीवन में  बहुत उपयोग  है,किसी वस्तु का आयतन एवं धारिता ज्ञात करने तथा इकाई निर्धारण  में करते है| कुछ संख्याओं का पूर्ण वर्गमूल एवं पूर्ण घनमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता है तो उस संख्याओं को करणी द्वारा व्यक्त किया जाता है | 

                                                                 

       घातांक  (indices ):-  जब किसी बड़ी संख्या को संक्षिप्त रूप में व्यक्त करने हेतु उस संख्या के ऊपर घात लिखते  है उस घात को घातांक (power of index ) कहते है ,जैसे -100000  को  10 ⁵   के रूप में लिखते है जिसको 10   की घात 5 पढ़ते है जिसमे  10 को आधार तथा 5 घातांक कहते है | जैसे-100000= 10⁵   

^{यहां पर} 10^{5   संक्षिप्त संकेतन है,जिसको 10 की ऊपर घात पांच पढ़ते है यहां 10 आधार (Base )और 5 घातांक (Power of index)कहते |} 

 10⁵    को 100000 का घातांकीय रूप (Exponentiol form) कहा जाता है|

घातांको  का नियम:    

(1 ) एक ही आधार वाली घातीय संख्याओं का गुणज =>  am  x an =  am +n

उदाहरण :- a3 x a4   का मान ज्ञात कीजिए 

   हल :-  a3 x  a4  = ( a x a x a) (a x a x ax a )

                                 अभीष्ट उत्तर=>  a7 

   

 (2 ) एक हीआधार वाली घातो  का विभाजन =>  am ÷  an =  am -n 

उदाहरण:-  a7  ÷ a4  का मान ज्ञातकीजिए 

  हल :-       a x a x ax  a x a x ax a /  a x a x ax a  =    a x a x a   =  a3     

                    अभीष्ट उत्तर=> a3 

(3 )यदि कोई शून्येतर परिमेय संख्या है  a0  =  1  

(4 )किसी घात वाली संख्या की भी घात ज्ञात करना=> यदि a एक शून्येतर परिमेय संख्या हो तथा m और n कोई दो धन पूर्णाकहो तो,    (  a m)n  =   am x n   

उदाहरण:-  (  5 3)4    का मान ज्ञात कीजिए 

        हल:-         (  5 3)4   =   a3  x 4    = a12

                          अभीष्ट उत्तर=> a12 

(5 )पृथक आधार किन्तु समान घातांक वाली संख्याओं का गुणज=>   यदि a और b कोई दो शून्येतर परिमेय संख्याए हो तथा m एक धन पूर्णांक हो तो    am  x b m  =  ( ax b)m

 उदाहरण:-    34 x 4 4   का मान क्या होगा ?

       हल :-     34 x 4 4  = (3 x 4) 4  = (12 ) 4 

                        अभीष्ट उत्तर=>  (12 ) 4         

   (6 )पृथक आधार किन्तु समान घातांक वाली संख्याओं का विभाजन =>   यदि a और b कोई दो शून्येतर परिमेय संख्याए हो तथा m एक धन पूर्णांक हो तो    am  ÷ b m = am  / b m =  ( a/ b)

 

 (7 )धनात्मक एवं ऋणात्मक :-ऐसी परिमेय संख्याए जिनका गुणनफल 1 के बराबर होता है | एक दूसरे की गुणात्मक प्रतिलोम (Inverse )अथवा व्युत्क्रम( Reciprocal )कहते है |

उदाहरण:- 3 /4 का  गुणात्मक प्रतिलोमक्या होगा? 

हल:-        3 /4 =1 /3 /4 =4 /3 

 जाँच =3 /4 x 4 /3 =1   अभीष्ट उत्तर=> 4 /3

 (8 ) घातो के ऋणात्मक होने की दशा में नियम:- 

       (1 )        am  x a -n  =  am- n  

       (2 ) a-m   x a n  =  a -m + n 

       (3 ) a-m x a -n   =  a -m - n

       (4 ) am   ÷ a -n  = am x a n 

      (5 ) a-m    ÷ a n  = a-m  x a -n 

      (6 )(a-m)-n  =  am n  = a-m  x a -n ,

     (7)  a-m x b -m    = ( ax b ) -m 

करणी( Surds):-जो संख्याए पूर्णघन प्राकृतिक संख्या अथवा परिमेय संख्या नहीं होती ,उनके घनमूल की 

प्राकृतिक संख्या  अथवा परिमेय संख्या नहीं   होती है ऐसी घनमूल संख्याए करणी होतीहै |  घनमूल की ही 

भाति,वर्गमूल ,चतुर्थमूल ,पांचवामूल --nवामूल संख्याए जो प्राकृतिक संख्या या परिमेय संख्या नहीं होती  है वे सभी 

करणी संख्याए कहलाती है इसको   ⁿ√    चिन्ह से व्यक्त किया जाता है ,व्यापक रूप से संख्या    ⁿ√ x      एक 

करणी संख्या है जिसमे x करणीगत राशि ,n करणी का घातांक कहलाता है,  ⁿ√        करणी का चिन्ह है| इस 

प्रकार     √ 2    ,    √ 3   ,   √ 5  ,     आदि करणी  कहलाती   है,

करणी के नियम:-(1 )    a √  n    +   b  √  n    + c √ n  = (a +b +c)√n 

                           (2 ) √ 2    x √ 2   x √ 2   -------------- √ a x b x c  

                              (3 ) √ a     ÷ √ b   ÷= √ a/  b      

विभिन्न परीक्षाओ में पूछे जाने वाले प्रश्न एवं हल :- 

उदाहरण 1:-     -5-4  x 5-3   को सरल कीजिए   

            हल:-       -5-4  x 5-3   =    1/ -5-4  x 5-3    =      1/( -5)4x3    

                                              =1/ 5 -7 = (-5)-7 

                               अभीष्ट उत्तर=> (-5)-7

उदाहरण 2:-    √27  -9/√3  -4 √1 /9  +6 √1 /27  का मान ज्ञात कीजिए | 

             हल :-√27  -9/√3  -4 √1 /9  +6 √1 /27 

                    =√81   -9/√3  -4 x 1 /3  +6/3  √1 /3 

                    =  0 -4 /3 +2 √1 /3

                      =  -4 /3 +2 √1 /3=2 /√3

                       अभीष्ट उत्तर=> 2 /√3

 उदाहरण  3:- यदि 22x+4  =  16x ,    तो   x 3    का मान क्या होगा ? 

                    हल :- 22x+4  =  16x  

                                          =24x

                        दो पछो की तुलना करने पर 

                         2x +4 =4x

                           x =2        =>    ,2  3   =8 ,    

                         अभीष्ट उत्तर=>8           

    उदाहरण 4 :-   4 √ 10000     =  (100) x      में x का मान क्या है?

       हल -    4 √ 10000     =  (100) x  

               (10) 4x1 /4   =  (10) 2x  

               (10)     =  (10) 2x      

               2x =1 याx =1 / 2 

                  अभीष्ट उत्तर=>1 /2  

  उदाहरण 5 :- √ 3 ,   3  √ 4   ,    4  √ 6        ,   6  √ 8         में सबसे बड़ी संख्या कौन है ?

               हल :-√ 3 ,   3  √ 4   ,    4  √ 6        ,   6  √ 8   

                           =  31/2   ,4 1/3  ,6 1/4 ,8  1/6 

                          घातो का म. स.=12 

                              =  3 12 x 1 / 2   ,4 12x 1  /3  ,6 12x 1  /4 ,8  12 x 1 /6 

                               = 36          ,4 4        ,6 3     ,8 2  

                                 =729 ,  256 ,216 ,64 

                          सबसे बड़ी संख्या=> √ 3 , 

                                  अभीष्ट उत्तर=>√ 3  

उदाहरण 6 :-    √ 2   + √ 2     + √ 2   + √ 2  + √ 2     + √ 2       + √ 2         बराबर है 

       हल :-    x = √ 2   + √ 2     + √ 2   + √ 2  + √ 2     + √ 2       + √ 2     

                         x =√ 2   +x 

                           x 2  =2  +x  

                             x 2  -x - 2 =0 

                       x 2  -2 x+x  - 2 =0 

                         x (x -2 )+1 (x -2) =0 या x =2 ,-1 

                               अभीष्ट उत्तर=>2              

नोट :-जब संख्या के बीच में +हो तो गुणनखण्ड में अधिक संख्या को लेना है यदि संख्या के बीच -हो तो कम वाली संख्या लेना है | Trick  √ 2   = 2 x 1  => 2   

   उदाहरण7:   √ 12       - √ 12  - √ 2  - √ 12           -------- n    

                                                हल :-    x = √ 12  = 3 x 4 =>4 -3 =1

                              अभीष्ट उत्तर=>3

उदाहरण 8:-  √ 248    +   √  52     + √ 144   =?

              हल:-        √ 248    +   √  52     + √ 144   

                             = √ 248    +   √  52     + 12 

                              =√ 248    +   √  64     

                              =√ 248    + 8    

                              =√ 256   =>16

                                अभीष्ट उत्तर=>16 

उदाहरण 9:-  √  5 √  5√  5√  5    का मान क्या है ?

               हल :-   x= √  5 √  5√  5√  5

                           x2   =5 x 

                              x =5 

                  अभीष्ट उत्तर=>5

उदाहरण 10 :- √  2  √  2 √  2 √  2      √  2             का मान क्या है ?

       हल:-  

निष्कर्ष :- बड़ी से बड़ी संख्याओं को आसानी से सरल रूप से पढ़ने - लिखने के लिए घातांक का प्रयोग किया जाता है जिन संख्याओं का वर्गमूल , घनमून , चतुर्थमुल आदि के द्वारा जिन संख्याओं का मान ज्ञात नहीं किया जा सकता उन संख्याओं का मान करणी द्वारा आसानी से ज्ञात किया  है |