average formula , औसत का सूत्र

       भूमिका :- औसत  सभी प्रकार की सजातीय राशियों के अंकगणितीय माध्य के माध्यम द्वारा ज्ञात किया जाता है| औसत हमेशा सजातीय राशियों का ही निकला जाता है, सजातीय रशिया एक समान होती है यदि रशिया समान न होने पर औसत ज्ञात नहीं किया जा सकता है, जैसे- मीटर ,लीटर ,रूपये , किमी  का औसत नहीं निकला जा सकता है  किन्तु  प्रकार की संख्याओं का सजातीय रूप से औसत ज्ञात किया जाता है औसत का उपयोग जीवन के अनेक क्षेत्रो में देखा जाता है |    

                                                            

                                                                                                             

औसत ( average):-दि   गयी  सजातीय  राशियों  का  औसत वह राशि है जो उन सभी राशियों का योगफल को उनकी संख्या से भाग देने पर औसत प्राप्त होता है|                                                                                            यदि  x1,   x2,    x3,      x4 ---------------  n राशियों के, सजातीय    n राशियों  हो तो उन  संख्याओं योग में n से भाग देते तो औसत प्राप्त होता है|                                                                                                                                                             

Average =  x1,   x2,    x3,      x4 ---- xn /  n                                                                                                      औसत(A)= पदो का योग/ पदो की संख्या                                                                                                        रशिया का योगफल =औसत x राशियों की संख्या                                   

 महत्वपूर्ण  सूत्र :-  प्राकृतिक संख्याए:-                                                                                                                                           

  (1 )  प्रथम  n प्राकृतिक    संख्याओं का औसत =n +1 /2                                                                                  

 (2 ) प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गो का औसत =(n +1)(2n +1)/ 6                                                           

(3 )प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के घनो का औसत = n (n +1)2  / 4                                                                                                                                                                                                                                                          विषम संख्याए:-(4 )    प्रथम  n विषम  संख्याओं का औसत = n                                                                                                                

 (5)     n विषम  संख्याओं का औसत = n+1/ 2                                                                                                                  

 (6 )   प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गो का औसत =(2 n +1)(2n +1) /  3                      

सम  संख्याए:-(7 )    प्रथम  n सम  संख्याओं का औसत = n +1                                                                                      

(8 )   n सम  संख्याओं का औसत = n+2 / 2                                                                            

   

क्रमागत संख्याए:- यदि क्रमागत संख्याए (सम ,विषम ,प्राकृतिक )हो और पदों की संख्या विषम हो तो उनका औसत हमेश मध्य पद होगा|                                                                                                                                           

गति संबंधित चाल:-  (9 )      चाल =दूरी / समय                                                                                                                          औसत चाल =कुल दूरी /  कुल समय                                                                           

 (10 )  Trick -यदि कोई वस्तु समान दूरी X किमी /घण्टा तथा Y किमी /घण्टा से तय करती है तो पूरी यात्रा के दौरान औसत चाल  =   2XY/X +Y                                                                                                                    

(11 )Trick -यदि कोई वस्तु समान दूरी X किमी /घण्टा , Y किमी /घण्टा    तथा Z किमी /घण्टा  से तय करती है तो पूरी यात्रा के दौरान औसत चाल  =   3 XY/XY  +YZ +Z X                                                                             

 साधित उदाहरण:-                                                                                                                                         उदाहरन1:- प्रथम 100  धन  पूर्णांक का  औसत क्या  होगा ?                                                                                               हल:- प्रथम  धन  पूर्णांक का  औसत=  n+1/2                                                                                                                      =  100 +1 /2       =50.5

                        अभीष्ट   उत्तर=> 50.5                                                                   

उदाहरन2  :-पहली पाच अभाज्य संख्याओ का औसत क्या होगा?                                                                               हल:- औसत=2 +3 +5 +7 +11/5 = 28 /5 =5. 6                                                                                                     अभीष्ट उत्तर => 5. 6                                                                                                                                                                                                                             उदाहरन3  :-    100  तक विषम संख्याओं  का  औसत क्या  होगा ?                                                                     हल:-     Trick  -  प्रथम  n विषम  संख्याओं का औसत = n                                                                                                    विषम  संख्याओं का औसत = 50                                                                                                          अभीष्ट उत्तर => 50                                                                                   

 उदाहरन4   :-  100  तक सम  संख्याओं  का  औसत क्या  होगा ?                                                                     हल:-     Trick  -  प्रथम  n विषम  संख्याओं का औसत = n+1                                                                                                       विषम  संख्याओं का औसत = 50 +1                                                                                                                  अभीष्ट उत्तर => 51                                                                 

उदाहरन5   :- 7  संख्याओं का औसत 12 है | यदि प्रत्येक संख्या में 2 घटाये तो नई संख्या का औसत ज्ञात कीजिए |                                                                                                                                                                         हल:-    7संख्याओं का औसत= संख्याओं का योग /7                                                                                              योग /7 =12                                                                                                                              योग =7 x 12 =84                                                                                                                 प्रत्येक संख्या से 2 घटा देने पर संख्याओं का योग  =84 -14  =70                                                                                                         नया औसत  = 70 /7 = 10                                                                                                              अभीष्ट उत्तर => 10                                                                   

 दाहरन6    :- 6   संख्याओं का औसत 12 है | यदि प्रत्येक संख्या में 2वृद्धि कर दे   तो नई संख्या का औसत ज्ञात कीजिए |                                                                                                                                                                     हल:-    6 संख्याओं का औसत= संख्याओं का योग /6                                                                                                  योग /6  =12                                                                                                                              योग =7 x 12 =72                                                                                                           प्रत्येक संख्या से 2 वृद्धि कर  देने पर संख्याओं का योग                                                                                                                    = 72 +6  x 2 =84                                                                                                                            नया औसत  = 84  /6 = 1 4                                                                                                                 अभीष्ट उत्तर =>14                                                        (Trick -नया औसत ज्ञात करना है यदि संख्या में वृद्धि दिया है तो पुराने औसत में जोड़ देते है तथा यदि कमी दिया होतो घटा देते है)                                                                                                                          

उदाहरन7:- 9संख्याओं का औसत 27 है यदि प्रत्येक  को  9  से गुणा कर दिया जाय तो संख्याओं के नये समूह का औसत क्या होगा?                                                                                                                           हल :- नये समूह का औसत =  पुराना औसतx 9                                                                                              = 27 x 9    = 243    ,  अभीष्ट उत्तर =>243                                                                                        

उदाहरन8 :- 8 व्यक्तियों के औसत भार में 1 किग्रा की वृद्धि हो जाती है | उनमे से 50 किग्रा के स्थान पर एक नया व्यक्ति आ जाता है नये व्यक्ति का भार क्या होगा ?                                                                                                हल :-     माना औसत x किग्रा  था                                                                                                                  कुल भार =8x किग्रा                                                                                                                                भार 1 किग्रा बढ़ने से नया औसत =(x +1) किग्रा                                                                                                   कुल  भार =(x +1)8 किग्रा                                                                                                                  बढ़ा हुआ भार =8x +8  -8x =8किग्रा                                                                                                 नये व्यक्ति का भार =50 +8 =58 किग्रा                                                                                                            अभीष्ट उत्तर =>58 किग्रा                                                               

 उदाहरन9  :- छः संख्याओं का औसत 56  है | यदि उनमे से 4 संख्याओं का औसत 58 है तो शेष दो संख्याओं का औसत क्या होगा ?                                                                                                                                                          हल :-  छः संख्याओं काकुल योग  = 56x 6 =336                                                                                               4   संख्याओं काकुल योग  = 58 x 4  = 232                                                                                      शेष 2  संख्याओं काकुल योग=336-232 =104                                                                                                 2  संख्याओं का औसत=104 /2 =52                                                                                                             अभीष्ट उत्तर =>52                                                      

 उदाहरन10   :-  10  सदस्य  के परिवार की औसत आयु 25 है जिसमे एक सदस्य की मृत्यु हो जाती है जिसकी आयु 50 वर्ष थी तो शेष सदस्यों की औसत आयु ज्ञात कीजिए                                                                                 हल:- 10  सदस्य  के परिवार की कुल  आयु =25x 10 =250                                                                                        मृत्यु के बाद कुल आयु = 250 -50 =    200      बाद                                                                                    नया औसत आयु =   200 /9 =22.23            य                                                                                         अभीष्ट उत्तर =>  22.23                                                                                              

 उदाहरन11:-  10  सदस्य  के परिवार की औसत आयु 25 है जिसमे एक सदस्य की आयु 75 वर्ष  हो जाती है जिसकी आयु 50 वर्ष थी तो शेष सदस्यों की औसत आयु ज्ञात कीजिए                                                                                             हल:- 10  सदस्य  के परिवार की कुल  आयु =25x 10 =250                                                                                         कुल आयु = 250 -75  = 175                                                                                                          औसत आयु =   175  /9 =                                                                                                               अभीष्ट उत्तर =>  19. 45                                                                                       

 उदाहरन12 :-  किसी कक्षा में 30 छात्रों औसत अंक 58. 5 है बाद में  यह ज्ञात हुआ की अंक 75 को गलती से 57 लिख दिया गया था शुध्द औसत ज्ञात कीजिए |                                                                                       हल - 30 छात्रों का औसत अंक = 58.5                                                                                            30 छात्रों का कुल अंक =5875 के स्थान पर 57 लिखा गया था                                                                               अतः सभी छात्रों के कुल वास्तविक अंक                                                                                                                                        =1755 -57 +75 =1773                                                                                                                  शुध्द औसत =1773 /30 =59. 1                                                                                          

  अभीष्ट उत्तर => 59. 1                                      

            

 उदाहरन13 :-एक रेलगाड़ी 20 किमी /घण्टा की दर से चलती है तथा वापसी 40 किमी /घण्टा कीचाल से चलती हैपूरी यात्रा की औसत चाल क्या होगी ?                                                                       हल:-   पूरी यात्रा के दौरान औसत चाल  =   2XY/X +Y                                                                                                                          =    2 x 20 x 40 /20 +40 =  1600 /60 =26. 67  किमी /घण्टा                                                                                  अभीष्ट उत्तर => 26. 67किमी /घण्टा                                          

निष्कर्ष :-औसत का प्रयोग सामग्री ,अंको ,संख्याओं ,चालो  ,प्रतिशत ,गति  आदि में किया जाता हैइसका उपयोग अनेक क्षेत्रो किया जाता है |