square root and cube root(स्क्वायर रुट एंड क्यूब रुट )

                                               

 |   वर्ग :- यदि किसी संख्या को उसी संख्या से गुणा करें तो गुणनफल से प्राप्त संख्या को गुणा की गई संख्या का वर्ग कहते है                                                                                                                                                       जैसे -       1 x 1 =1 ,2 x 2 =4 ,3 x 3 =9 ,4 x 4 =16 ,5 x 5 =25 ,6 x 6 =36 ,7 x 7 =49 ,8 x 8 =64 ,                                   9 x 9 =81 ,10 x 10 =100                                                                                                             उपरोक्त को कथनो के रूप में इस भाँति व्यक्त किया जा सकता है कि 2 का वर्ग 4 है ,3 का वर्ग 9 है ,4 का वर्ग 16 है |                                                                                                                                                              11 

से 99 त संख्याओं का वर्ग ज्ञात करना :-                                                                                                         ( a +b )2 =(a )2+( b)2 +2 ab इस  formula से आसानी से वर्ग निकालते है  जैसे -22 का वर्ग ज्ञात कीजिए ,            हल -  (22)2 =(20 +2 )2 =(20 )2 +(2 )2 +2 x 20 x2  =  400 +4 +80 =484                                                        ( 36)2  =(30 +6)2 =(30 )2 +(6 )2 +2 x 30 x 6 =900 +36 +360 =  1296        

101 से 999 तक संख्याओं का वर्ग ज्ञात करना :-                                                                                                        ( a +b +c)2 = (a)2 +(b)2 +( c)2 +2(ab +bc +ca )                                                                                          जैसे -   ( 125)2 =(100 ) 2 +(20)+(5 )2 + 2 (100 x 20 +20 x 5 +5 x 100 )= 15625                              

वर्गमूल (square  root):- वर्ग की प्रतिलोम संक्रिया ही वर्गमूल कहते हैं, 3 का वर्ग 9 है ,9 का वर्गमूल 3 है,4 का वर्ग 16है  16 का वर्गमूल 4 है ,                                                                                                                                                                      वर्गमूल               संख्या    ----------  वर्ग                                                                                                                 1                       1                         1                                                                                                                 2                       2                         4                                                                                                                 3                       3                         9                                                                                                                 4                        4                        16                                                                                                               5                        5                         25                                                                                                              6                        6                      36                                                                                                               7                        7                              49                                                                                                         8                         8                      64                                                                                                                 9                         9                    81                                                                                                            10                               10                    100                                           

                                 

 वर्गमूल ज्ञात करने की घटाव विधि :-  किसी दी गई संख्या  में क्रमशः विषम संख्याओं को जितनी बार घटाते है      उस संख्या वर्गमूल उतना होता है   ,जैसे -144  का वर्गमूल ज्ञात कीजिए,                                                                                   हल - 144 -1  = 143,143 -3 =140 ,140 -5 =135 ,135 -7 =128 ,128 -9 =119 ,119 -11 =108,  108 -13 =95 ,95 -15 =80 ,80 -17 =63 ,63 -19 =44 ,44 -21 =23 ,23 -23 =0                                               144में  12  बार घटाने  में संख्या शून्य हो जाती है इसलिए 144 का वर्गमूल 12 हुआ  |           

 गुणनखंड विधि से वर्गमूल ज्ञात करना :- दी गई संख्या के अभाज्य  गुणनखंडो  के  प्रत्येक  जोड़े   में से  एक -  एक लेकर प्राप्त गुणनफल ही दी गई संख्या का अभीष्ट वर्गमूल होता हैं |                                                                                               

 जैसे - 484 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए ,                                                                                                                       हल -     2   | 484                                                                                                                                                            ________                                                                                                                                                 2   |  242                                                                                                                                                          ___________                                                                                                                                               11 |   121                                                                                                                                                         ___________                                                                                                                                                 11                                                                                                                                                              484 =   2 x 2   11 x 11    =2 x 11 =22( संख्याओं में जोड़ा लगाते है एक जोड़े में से एक संख्या लिख कर आपस में गुणा करने पर वर्गमूल ज्ञात हो जाता है )                                          

भाग विधि से वर्गमूल ज्ञात करना:-  दी गई संख्या में दाये से जोड़े बनाकर नीचे दी गई विधि से वर्गमूल ज्ञात करते हैं |   उदाहरण -    1681 का वर्गमूल भाग विधि से ज्ञात कीजिए ,                                                                                     हल -        _                 __      ___                                                                                                                                                   4  |  16    81   | 4 1                                                                                                                                             |   16                                                                                                                                                             __|_________                                                                                                                                           81 |   x         81                                                                                                                                                   |               81                                                                                                                                                   |__________                                                                                                                                                                     x                                                                                                                                                   अतः - 1681 का वर्गमूल 41 है |                                                      

  दशमलव  भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करना :- दशमलव भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए दी गई संख्या में दशमलव बिंदु के बाद बाये से दो अंको का जोड़ा बनाते है यदि आवश्यक हो तो अंत में शून्य बढ़ाकर जोड़ा पूरा करते है  और दशमलव बिंदु के पहले दाये से दो -दो का जोड़ा बनाकर वर्गमूल ज्ञात करते हैं |                                                       .                  

उदाहरण -   62800.36 का  वर्गमूल ज्ञात कीजिए ,                                                                                                                       हल -               __  __   __                                                                                                                                              2  |  6 28  00 . 36  | 250 . 6                                                                                                                              2  |  4                    |                                                                                                                                        ‌‌      |________________                                                                                                                            4 5 |  2 28                                                                                                                                                        5 |  2 25                                                                                                                                                         |__________________                                                                                                                             5 0 0  |  x x  3  00                                                                                                                                                  0 |              0                                                                                                                                                |_____________________                                                                                                                  5006 |        3 0 0 3 6                                                                                                                                                        3 0 0 3 6                                                                                                                                         ________________________                                                                                                                                 x x x x x                                                                                                                       अतः  62800 . 36  का वर्गमूल  250 . 6  है |                                                    

    

   उदाहरण - √ . 9 = ?                                                                                                                                                       हल -               __   __  __                                                                                                                                               9   | . 90   00  00   | . 948                                                                                                                             9   |   81                |                                                                                                                                         ___ |________________                                                                                                                       184   |   x  9  00                                                                                                                                               4   |       7  3 6                                                                                                                                          ____ |___________________                                                                                                                1 8  88|   1  6 4 0 0                                                                                                                                       |          1 5 1 0 4                                                                                                                                         |________________                                                                                                                                            1 2 9 6                                                                                                  

  अतः-  √ . 9 = . 948 होगा |  इसी प्रकार   √ . 1 = . 32 ,     √ . 4  = . 632,                                                                                                                                                                                                                       

 .( नोट-दशमलव  वाली  किसी  संख्या में जोड़ा बनाकर  सबसे पहले  प्रथम  जोड़ा  में किस  संख्या  का वर्ग  करने पर  उस संख्या से कम हो उसी संख्या से भाग देकर वर्गमूल ज्ञात करते हैं )                                                         

 

   किसी भिन्न का वर्गमूल ज्ञात करना :-   दी गई भिन्न संख्याओं  का वर्गमूल ज्ञात करने के लिए दिये हर का ऊपर -नीचे गुणा करके वर्गमूल ज्ञात किया जाता है,                                                                                          उदाहरण -  √ 7 / √ 5  का वर्गमूल ज्ञात कीजिए ,                                                                                                       

 हल -    √ 7 /   5  =   √ 7 x √ 5                                                                                                                                                        _________                                                                                                                                                        √ 5  x √ 5                                                                                                                                         =  √ 35/ 5 = 5.916/5 =1 . 18                                                                                                                 अतः  √ 7 /   5  = 1 . 18  है                                                                                                 

उदाहरण :     . 00053361 के वर्गमूल ज्ञात कीजिए |                                                                                                   हल :-        __   __   __   ___                                                                                                                                         | . 00   05    33    61    | 0.0231                                                                                                                    2 |           4                     |                                                                                                                       _     2  |_________________                                                                                                                             43  |            133                                                                                                                                               3  |            129                                                                                                                                            __ |________________                                                                                                                             461  |              461                                                                                                                                                |              461                                                                                                                                                 |________________                                                                                                                                    ________ x  x x                                                                                                                                          

 अतः     √ 0 . 00053361   =    0 . 0231   है |                                                                                                                                                                                                                                   

 घन(cube ) :-  जब कोई संख्या आपस में तीन बार गुणा किया जाता है तो प्राप्त मान उस संख्या तीन घात होते है |                               2 x 2 x 2 = 23    =  8                                                                                                                                       3  x 3  x3   = 3 3  = 27                                                                                                                                      4 x  4 x 4  = 4  3 = 64                                                                             

 11 से 15 सभी सम संख्याओं केघन सम और विषम संख्याओं के घन विषम होते है निचे  दिये  है  |                                 11 x 11 x 11 = 1331, 12 x 12 x 12 =1728 , 13 x 13 x 13 =2197 ,14 x 14 x 14 =2744 ,                                     15 x 15 x 15 =3375                                                                                                                                                    नोट -सबसे छोटी पूर्ण घन प्राकृतिक संख्या  1 है |                                                                            

 घनमूल(cube root ):-   किसी संख्या को आपस में तीन बार गुणा किया जाय तो जो गुणनफल प्राप्त होता है ,उस गुणनफल की वह संख्या घनमूल कहलाती है,  घनमूल का  चिंह    ³√  है |                                                                जैसे -       216 =  6 x 6 x 6 =  6 3  =6 ( तीन संख्या में से एक संख्या लेलेते है वही अभीष्ट घनमूल कहते है )                                

घनमूल ज्ञात करने की गुणनखंड विधि :-                                                                                                              जैसे -    27और 216 का घनमूल ज्ञात कीजिए |                                                                                                  हल -   27 =3 x 3 x  3 =  33 ,         ³√27  =   (3)3x1 /3  = 3                                                                               216 =2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = (2 x 3)3x1/3 =2 x 3 =6          

उदाहरण  43200 को पूर्ण घन बनाने के लिए इसमें किस छोटी से छोटी संख्या का गुणा करना चाहिए ?                    हल - 43200  =2x 2x 2x 2x 2x 2x 3x 3x 3x 5x 5                                                                                             दीगई सँख्या में 5 का समूह नहीं बन रहा है इसलिए संख्या में 5 से गुणा करे,                                                                         जैसे- 43200 x 5 =216000                                                                                                                   अतः -          = ³√216000 =2 x 2 x 3 x 5 = 60                                                                                        

  दो पूर्ण घन पूर्णांकों के गुणनफल का घनमूल :-  जैसे -                                                                                                          ³√27 x 64 = 3x 3x 3x 4x 4x 4 = (3x 4)3x1 /3= 3 x 4 =   12      

                                                                                                                                                                           

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