exponents and powers( घातांक और घात ):-

                                                                          

भूमिका :-   प्राकृतिक  संख्याओं में सबसे बड़ी कोई संख्या नहीं होती है एक बड़ी संख्या                                                     1 000000000000000000    की  कल्पना  कीजिए ,क्या आप इसे लिख और पढ़ सकते है ,इतनी बड़ी संख्याओं को पढ़ना ,समझना ,अंतर करना और तुलना करना आसान नहीं है | अतः इन संख्याओं को सरलता से पढ़ने ,समझने औरआपस  में तुलना करने के लिए हम घातांको   का प्रयोग किया जाता है  जिससे संख्याओं समझना एवं   तुलना  की जा सके | 

       घातांक (Exponents):-  किसी संख्या पर घात लगना एक गणितीय संक्रिया है जिसमें किसी को आपस में अधिक बार गुणा किया जाता है ,जितनी बार गुणा किया जाता है वह उस संख्या का घात कहलाता है संख्या 10000 का संक्षित रूप    104   लिख सकते है |    10000=10x10x10x10 इस प्रकार भी लिखा जाता है तो 104 को पढ़ा जाता है,  10  की  ऊपर घात चार या 10 की घात चार |  104  में 10 आधार(Base ) और 4  घातांक (Power  of Index)         कहलाता है |   104 को 10000 का  घातांकीय   रूप (Exponential form )  कहा जाता है |                                   

   जब आधार धनात्मक पूर्णांक :- जब आधार धनात्मक पूर्णांक हो लेकिन घात सम संख्या हो या विषम संख्या हो तो आधार का गुणनफल सदैव धनात्मक पूर्णांकहोगा |                                                                                                                   जैसे -64 =2 x 2 x 2 x 2 x 2     x 2 =26 , 64 =26     में आधार 2 और घातांक 6 है                                                                      घातीय संकेतन में आधार एवं घातांक:-                                                                                                      घातीय संकेतन  रूप  |  अर्थ (गुणरूप )         |  मान     |    आधार     |         घातांक                                                 

            22                        |    2 x 2                      |     4      |       2          |          2                                           56                       | 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5  |  15625 |       5          |          6                                                                                      

 जब आधार एक ऋणात्मक पूर्णांक हो :-यदि आधार ऋणात्मक पूर्णांक हो लेकिन यदि घात सम संख्या हो तो आधार का गुणनफल धनात्मक पूर्णांक होगी | यदि घात विषम संख्या हो तो आधार का गुणनफल हमेश ऋणात्मक पूर्णांक होगा | जैसे -   (-2)3 =-2 x -2 x -2=  -8  ,

                    जैसे -    (-2)4  =-2 x -2 x -2 x -2   =  16                                                                                                                      

परिमेय संख्या  ( p/q ) का आधार धनात्मक  हो और घात सम  या विषम  :-  परिमेय संख्या  ( p/q ) का आधार धनात्मक  हो और घात सम  या विषम हो तो आधार का गुणनफल सदैव धनात्मक होगा |                  

जैसे -    (2 /3)4     

       =  2 /3 x 2 /3 x 2 /3 x 2 /3 जिसका आधार 2 /3 है घातांक 4 है इसे 2 /3 के घात 4 पढ़ते है |                                                                

                                          

परिमेय संख्या (p /q )का आधार ऋणात्मक हो और घात सम या विषम :-  परिमेय संख्या (p /q )का आधार ऋणात्मक हो और घात सम  हो, तो  गुणनफल धनात्मक होगा तथा परिमेय संख्या (p /q) का आधार ऋणात्मक हो और घात विषम   हो, तो  गुणनफल ऋणात्मक  होगा  |                                                                                             जैसे -    -5 /6 x -5 /6 x -5 /6 = (-5 /6)3 

                                              जिसका आधार -5 /6  तथा घातांक  3 है                                                                                                      जैसे --5 /6 x -5 /6 x -5 /6   x  -5 /6 = (5 /6)4  

                                           जिसका आधार 5 /6  तथा घातांक  4  है                                                                                                  - ;घातांको  का नियम (Rules  of exponentiols )    :-                                                                  नियम (1 ) -एक ही आधार वाली घातीय संख्याओं का गुणन:- जब आधार समान हो तो घात आपस में जोड़ दिये जाते है |       

               (1) -        a mx  an      =   a m +n     

               (2 )-       -a mx  -an      =   -a m +n     

     

 उदाहरण -  2  3 x  2 4      का मान ज्ञात कीजिए  |    =   2  3  +4                                                                             हल -    2  3 x  2 4   =  2  3  +4  =   2 7  

                              उत्तर-  2 7                                                                                                                                   

        उदाहरण -      -45  x -4 4      का मान ज्ञात कीजिए  |       

                 हल -    -45  x  -4 4   =  45 +4  =   -49    

                   

  

            

 नियम (2  ) :-पृथक  आधार किन्तु समान घात वाली  संख्याओं का गुणन:- जब पृथक  आधार होने पर          आधार का  आपस  गुणा करके उसके ऊपर घात  लगते है|                                                                                                                     a mx  b m       =  ( a x  b)  m                                                                                                                                                                                                                                                                     उदाहरण -      5 5  x 6  5       का मान ज्ञात कीजिए

                    हल -    5 5  x  6  5    =  (5x 6) 5   =   (30)5  

                                                     =30 x 30 x 30 x 30 x 30 =24300000                                                                

 

 नियम (3) -एक ही आधार वाली घातो का  विभाजन :- जब आधार समान हो तो घात                                                                                                                                                                                                          अलग -अलग हो तो घात  आपस में घटा  दिये जाते है |  यदि   m >n तो   am/ a n  =am-n    

                                                                              यदि   m <    n तो   am/ a n  =      1 /a n -m     

                                    

उदाहरण -      5 7  / 5  5       का मान ज्ञात कीजिए                                                                                                 हल -    5 7  / 5 5    = 5 7 -5                                                                                                                                                    =  52 =5 x 5 =25 

      

 नियम  (4 ) - पृथक आधार वाली घातो का  विभाजन :- जब पृथक आधार(a और b कोई शून्येतर परिमेय संख्या हो    समान हो तोऔर  घात समान हो तो       am/ b  m   = (a/ b)m                                                                                    

                             

  उदाहरण -      8 5  / 9  5       का मान ज्ञात कीजिए    

                                 हल -    8 5  / 9 5    =( 8   / 9) 5                                                                                                         

        

  उदाहरण -      (2/4) 3  / (2/5)  3       का मान ज्ञात कीजिए    

                                 हल -    (2/4) 3  / (2/5)  3        =(2/4   / 2/5) 3                                                                        

         

    नियम    (5 ) -यदि a कोई  शून्येतर परिमेय संख्या है तो :-    a0    =1       

                                             am/  a   m    =   am-  m      =1  

               

नियम (6 )   किसी घात वाली संख्या की घात ज्ञात करना :- यदि a एक शून्येतर परिमेय संख्या हो तथा m और n कोई दो धन पूर्णांक हो तो  

                                    ( a  m)n     =   amx n         

        

   उदाहरण -     ( (6 )3)4          का मान ज्ञात कीजिए    

                                 हल -   ( (6 )3)4           =(6) 3 x (6) 3  x(6) 3 x( 6) 3

                                                                   =(6) 3 + 3  + 3 + 3     =(6) 12 

             

 नियम (7 )  परिमेय संख्याओं का घात के रूप में व्यक्त करना ( p /q ):-  किसी भी परिमेय संख्या को उसके घात 1 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है  ,   ( p /q ) 1         

             

 उदाहरण -     6           का मान  ज्ञात कीजिए |                                                                                                                             

 हल -   6            =(6) 1

             -

-किसी संख्या को भिन्न -भिन्न आधारों पर घात रूप में व्यक्त किया जा सके ,तो उसका घातीय संकेतन अद्वितीय 

नहीं होता है       ( a /b ) m     =   am     /b m

           उदाहरण -      (4 /7 )6          का मान ज्ञात कीजिए  |                                                                                              

 हल -  (4 /7 )6 =   4 6      /7  6   

                                         4 x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 /7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 4 6      /7  6   

 

नियम (8  ) पृथक आधार किन्तु समान घातांक वाली संख्याओं के गुणन का उपयोग करके भी कुछ परिमेय संख्याओं को  घातीय संकेतन  (घात रूप )में व्यक्त कर सकते है | 

                                     am xb m = ( a x b ) m     

              

उदाहरण -           64 x 729 को आधार 6 पर घातीय संकेतन में व्यक्त कीजिए   | 

              हल-     64 =2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  =     2 6

                           729 =3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 =  3 6

                                = (  2 x 3)  6  =  6 6   

 

 धनात्मक एवं ऋणात्मक घातांक :-   ऐसी परिमेय संख्याए जिनका गुणनफल 1  के बराबर होता है एक दूसरे के

 गुणात्मक प्रतिलोम (Inverse )अथवा व्युत्क्रम (Reciprocal )कहलाती है |  धनात्मक    a एवं ऋणात्मक a-1       

                                      a   x  a  -1      =      1  

                                          a   /  a      =      1   

               

 उदाहरण - 24 का  गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए | 

                 हल -24      गुणात्मक प्रतिलोम=1 /24 =   24   -1  

                        गुणनफल=24x 1 /24=1      

        

यदि a /b कोई शून्येतर परिमेय संख्या हो तो उसका व्युत्क्रम b /a होता है :-       

                                       a /b =( b /a) -1      

                उदाहरण - 36 /49  का  गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए |                   

                 हल -  36 /49 =   (49 /36) -1

                                  6 2 /7 2  =(7  /6)  -2 

     

  यदि किसी संख्या पर घात शून्य हो :-     a 0  =1                                                                                              

                                                                 0n   =0 

        

  बडी तथा छोटी संख्याओं को घातांको  में व्यक्त करना :- मानक रूप या बैज्ञानिक संकेतन में व्यक्त

 संख्याए  K x  10 n     के रूप में लिखी जाती है जहा 1 <K <10  तथा n एक पूर्णांक होता है और K  एक दशमलव संख्या होती है| जैसे -    75, 75000   बड़ी संख्या का मानक रूप लिखिए | 

                                          75 =7. 5x 10    = 7. 5 x   10 1(मानक रूप )       

                                           75000=7. 5 x 10000= 7. 5 x   10  4 (मानक रूप )          

       

    जैसे-  0. 0000 75  छोटी संख्या का मानक रूप लिखिए | 

                       0. 0000 75 = 7. 5 x 1 / 100000 = 7. 5 x   10  -5  (मानक रूप )      

          

  किसी बड़ी संख्या का मानक रूप में व्यक्त करना :-इसमें दशमलव चिन्ह बाई ओर खिसक जाता है | 

           जैसे -पृथवी का द्रव्यमान 59760000000000000000000000 kg     का मानक रूप लिखिए |                      

                   मानक रूप =5. 976 x  10 24   kg     

            

  किसी संख्या के मानक रूप से साधारण संख्या के रूप में व्यक्त करना    :-                                                        

                              जैसे -      2. 5 x 10  5 को साधारण रुप में व्यक्त कीजिए |         

                                       2. 5 x 10  5  =25 00000 

   

 नियम -किसी समीकरण के दोनों पक्षों का आधार समान है तो दोनों पक्ष का घात भी समान होगा | 

                  a m     = b  n ,                    

                       m =n      

 

  नियम -किसी समीकरण के दोनों पक्षों का   घात समान है तो दोनों पक्ष का आधार  भी समान होगा | 

                  a m     = b  m  ,                    

                             a =b                              

  निष्कर्ष :-घातांक के नियम एवं सिध्दान्तो द्वारा बड़ी से बड़ी एवं छोटी से छोटी संख्याओं को सही -सही लिख -पढ़ सकते है