Ratio and proportion अनुपात-समानुपात (ratio and proportion )

     भूमिका :- हमारे दैनिक जीवन में व्यावहरिक रूप से प्रतिदिन छोटा -बड़ा ,कम -अधिक ,नीचे -ऊपर ,आय -व्यय इत्यादि ,जैसे तुलनात्मक शव्दों की आवश्यकताउस  पड़ती रहती है तुलना दो प्रकार से करनी पड़ती है ,पहला अंतर् के माध्यम से ,जेसे कौन किससे कितना बड़ा ,कौन किससे कितना अधिक ,कौन किससे कितना छोटा ,कौन किससे कितना कम और दूसरा किससे कितना गुना बड़ा ,कौन किससे कितना गुना अधिक इत्यादि ,इस प्रकार के प्रश्नो का हल करने के लिए कौन विधिओ का उपयुक्त होगी ? इसलिए हम दोनों की उम्र की तुलना अंतर् के माध्यम से करते है की श्याम की उम्र 40 वर्ष है उसके बड़े भाई राम की उम्र 60 वर्ष है  तो राम -श्याम से कितना बड़ा है अर्थात 20 बड़ा है | दूसरा एक लड़के की उम्र 20 वर्ष है उसके पिता की उम्र 60 वर्ष है तो पुत्र से पिताकी उम्र कितना गुना अधिक होंगे 60 /20 =3 /1 =3 :1 अर्थात पिता की उम्र पुत्र की उम्र से तीन गुनी है इस प्रकर के प्रश्नो को उत्तर के लिए अनुपात और समानुपात की  आवश्यकता पड़ती  है |                            

अनुपात(Ratio ):- समान जाति के किन्ही दो राशियों के परस्पर आपस में सम्बन्ध को ,जिससे यह बोध हो कि दूसरी राशि ,पहली राशि की कितनी गुनी है इसे व्यक्त करने को अनुपात कहते है|                                                   दो राशियों का अनुपात उसे  भिन्न के द्वारा या भाग द्वारा प्रगट किया जाता है जिसकी पहली राशि अंश और दूसरी राशि हर होती है | दोनों राशियां एक ही इकाई में होती है अनुपात को (:)चिंह द्वारा दर्शाया जाता है                         

 प्रथम राशि |  |द्वितीय राशि             |  अन्तर               |  भाग                  |    अनुपात                                                   5        |           3                    | 5 -3 = 2          |5 /3=5 /3                  |  5 : 3                                               

                                                                                                                                                                                   अनुपात दो संख्याओं की भाग द्वारा तुलना करने से ज्ञात होता है कि एक संख्या दूसरी संख्या की कितनी गुनी है अर्थात कौन सा भाग है |                                                                                                                                                                    

दो  संख्याओं का अनुपात ज्ञात करना :-दो संख्याओं का अनुपात ज्ञात करने के लिए प्रथम संख्या

  a ,दूसरी संख्या

b से भाग देने पर अनुपात ज्ञात हो जाता है कि कितना बड़ा है या कितना गुना है |                       

  जैसे - प्रथम संख्या a,दूसरी संख्या b,अतः a और b का अनुपात =a /b =a :b                                                

a :b में a तथा b को अनुपात के पद कहते है ,a :b में aप्रथम पद या पूर्व पद (antecedent )   तथा b द्वितीय पद      या    उत्तर पद(consequent  )कहलाता है                                                                                                                 

 :- दो राशियों में अनुपात ज्ञात करते समय इनमे से कोई भी राशि शुन्य नहीं होनी चाहिए |  जैसे -प्रथम संख्या 3 और द्वितीय संख्या 0 तथा प्रथम संख्या 0 और द्वितीय संख्या 3 हो तो अनुपात सम्भव नहीं है                                               3 /0  गलत है ,a /b   में दोनों शून्य नहीं होते है                                                            

  :-दोनों राशियों की तुलना तभी की जा सकती है जब वे दोनों एक ही इकाई (मात्रक )में हो|                                         जैसे -10 रूपये और 30 रूपये में अनुपात 10 :30 अथवा 1 :3 या 1 /3 लिखते है  , परन्तु  20  रूपये और 50 आम में कोई अनुपात नहीं होगा,क्योकि दोनों राशियों की इकाई समान नहीं है |                                                                                                         

 व्युत्क्रम अनुपात  या विलोमानुपात (Inverse  or Reciprocal ratio):- यदि   a :b में a पूर्वपद तथा b उत्तरपद   है यदि b पूर्वपद और a उत्तरपद बना दिया जाता तो अनुपात का रूप b :a हो जाता है इसेa:b  व्युत्क्रम अनुपात     कहते है ,जैसे -2 :3 का व्युत्क्रम अनुपात 3 :2 है ,                                                      8 :9 का व्युत्क्रम अनुपात 9 :8 या1 /9 :   1/8                                                                                                                                         

समान अनुपात(Ratio of Equality):- यदि किसी अनुपात  का  पूर्णपद और अंतिम पद आपस में बराबर होने पर इस प्रकार अनुपात को समान अनुपात कहते है ,जैसे -9 :9 ,  5 :5 ,13 :13                                                        

 सीधा अनुपात(Direct Ratio ):- यदि जिस अनुपात में पहली राशि के घटाने या बढ़ाने से दूसरी राशि भी उसी तरह घट या बढ़ जाती है उसे सीधा अनुपात कहते है, जैसे -   4 :5  का सीधा अनुपात =8 :10 = 4 x 2 :5 x 2               जैसे -    5 :6 का सीधा अनुपात =15 :18 =5 x 3 :6 x 3 =(15 :18 )                                                               मिश्रित अनुपात (Compound Ratio ):- यदि दो या दो से अधिक अनुपात का पूर्व पदों केगुणनफल और अंतिम पदों के गुणनफल के अनुपात को मिश्रित अनुपात कहते है |                                                                                  उदाहरण -2 : 3, 4 :5 , 7 :8  का मिश्रित अनुपात ज्ञात कीजिए |                                                                                                  

हल -   2 :3 ,4 :5 ,7 :8  का अनुपात =2 x 4  x 7 : 3 x 5 x 7  =56 :96 =14 :24                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

 अनुपात का सरलतम रूप :-  किसी अनुपात को सरलतम रूप लिखने के लिए दोनों      पदों   के  महत्तम       समापवर्तक    से प्रत्येक पद विभाजित करते है|                                                                                                   

 उदाहरण - 24 का 36 से सरलतम अनुपात ज्ञात कीजिए |                                                                                    

 हल-      अनुपात =24 /36 =24 :36                                                                                                                            24 =2 x 2 x 2 x 3,          36 =2 x 2 x 3 x 3                                                                                                      म 0 स 0प 0=  2 x 2 x 3 =12                                                                                                                             24 :36 =24 /12 :36 /12 =2 :3                                                                                                    

उदाहरण-   5 किग्रा और 650 ग्राम में सरलतम अनुपात के रूप में लिखिए |                                                           

हल -   अनुपात = 5 000 ग्राम :650 ग्राम =5000 :650 =100 :13                                                                         

 

दो अनुपातों  की तुलना :- दो संख्या की तुलना के द्वारा बड़ा और छोटा ज्ञात किया जा सकता है      

 उदाहरण -  3 :5और 5 :8 में कौन अनुपात बड़ा है ?                                                                                                  

 हल -   3 :5 अनुपात =3 /5  ,  5 :8 अनुपात =    5 /8                                                                                                                  3/5 =5 /8  =  24 /40 =25 /40                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 5                                                                                           

 अनुपात को भिन्न में व्यक्त करना:-  अनुपात  के प्रथम पद को द्वितीय पद से भाग देने पर भिन्न के रूप में व्यक्त हो जाता है |                                                                                                                                            उदाहरण -  8 :24 को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए |                                                                                             हल -अनुपात =8 /24 =1 /3                                                                                                                                          

अनुपात को दशमलव में व्यक्त करना :- किसी अनुपात का पूर्ण पद कम और अंतिम पद अधिक हो तो अंश में हर से भाग देने पर जो मान आता है उसे दशमलव में व्यक्त करते है | जैसे -2 :5 का अनुपात =2 /5 =0. 4                                                                                                                                                          

  समानुपात (Proportion):-यदि दो अनुपात एक दूसरे के समान होते है तब दोनो   अनुपात  की चारो   राशियाँ   समानुपात कहते है | जब दो अनुपात समान हो तो (सम +अनुपात ) समानुपात  कहलाता है जिसमे चार राशियां या संख्याए   या पद समानुपाती होते है जब पहले और दूसरे का अनुपात ,तीसरे और चौथे के अनुपात के बराबर हो ,     समानुपात का चिन्ह  : : का  प्रयोग करते है |

जैसे -3 ,5 ,9 ,15 चारो राशियां समानुपाती है क्योकि                                           

  3 :5 =9 :15 = 3 :5 : :  9 :15 समानुपात को इस प्रकारलिखा जाता है |a :b : :c :d                                                                                                                                                                                             

वाह्वा पद और मध्य पद ज्ञात करना :-यदि        a :b : :c :d  (  : : समानुपात को व्यक्त करता है )    a और d वाह्वा पद तथा b और c को मध्य पद कहते है ,a प्रथम और d अंतिम को वाह्वा पद तथा b द्वितीय और c तृतीय को मध्य कहते है 

,जैसे -  2 : 4 : :3 :6 में वाह्वा पद=2 और 6 तथा  4 और 3   मध्य पद  इसलिए  a /b =c /d                                                              ad =bc                                                                                                                     

 1 -जब चार राशियां समानुपाती होती है तो वाह्वा पदों का गुणनफल , मध्य पदों के गुणनफल के बराबरहोता          है   

 2 -यदि चार शून्येतर संख्याए क्रमानुसार a ,b ,c ,d हो तो इनके समानुपाती होने पर ad =bc                                                                                                                                                                                 

उदाहरण -क्या 12 ,24 ,24 ,48 समानुपात में है?                                                                                                                       

हल - प्रथन विधि  -  12:24 =12 /24  =1 :2 ,   24 :48=24 /48 = 1:2                                                                  

यहाँ दोनों अनुपात बराबर है ,अतः 12 ,24 ,24 ,48 समानुपात में है |                                                                                                

द्वितीय विधि -   वाह्वा पदों का गुणनफल =12 x 48 =576                                                                                                          मध्य पदों का  गुणनफल=  24 x 24 =576                                                                                                           दोनों =576 =576                                                                                                 

                            अतः  12 ,24 ,24 ,48 समानुपात में है                                                                                                    

 अर्थात   12 :24 : :24 :48                                                                                                                          

चतुर्थानुपाती (Quadrature ):- जब चार राशियां समानुपाती हो तो किसी तीन राशियां का मान ज्ञात होने पर चौथी राशि का मान ज्ञात किया जा सकता है इसे समानुपात के चौथे पद को  चतुर्थानुपाती कहते है |                          

 उदाहरण -  25,15 और 40 का चतुर्थानुपाती ज्ञात कीजिए |                                                                                       

हल -माना चतुर्थानुपाती  Y है                                                                                                                                            25 :15 : : 40 :Y                                                                                                                                              25 Y =15 x 40                                                                                                                                                Y =15 x 40 /25 =24                                                                                                                                         Y =24                                                                                                                          

विततानुपात( Continued  proportion ):- समान जाति के तीन पदों को उस समय विततानुपाती कहते है ,        जब   पहलेऔर दूसरे पदों का अनुपात दूसरे और तीसरे पदों के अनुपात के बराबर हो |                                             

जैसे -5 ,10 ,20 विततानुपातीहै क्योकि 5 :10 : :10 : 20                                                                                         

  यदि a ,b ,c  विततानुपाती हैतो a :b : :  b :c                                        a /b =b / c                                                                                                                                                        b 2   =  a c                                               दूसरी राशि को पहली और तीसरी का 

मध्यानुपात (Mean Proportional )कहते है ,अतः दो राशियों के मध्यानुपाती का वर्ग ,उन राशियों के गुणनफल के समान होता है |                                                                           

उदाहरण - 64 और 81 का मध्यानुपाती ज्ञात की कीजिए |                                                                                     

हल -  प्रथन विधि  -  माना  मध्यानुपातीY है                                                                                                                                  64 :Y : :Y :81                                                                                                                                               Y x Y =64 x 81 ,  Y 2 = 64 x 81                                                                                                                      Y  =√ 64 x 81=8 x 9 =72                                                                                                                               

 द्वितीय विधि -    सूत्र-   b 2   =  a  c                                                                                                                                                       b    = √ a c  = √ 64 x  81= 8 x 9 =72                                                                 

 तृतीयानुपाती:- (Third proportional )       b 2   =  a c , c =  b 2 /a                                                                      जहां c तृतीयानुपाती कहते है ,तीसरी राशि को पहली और दूसरी राशि की तृतीयानुपाती कहते है|                    

 उदाहरण -   9 और 6 का तृतीयानुपाती ज्ञात कीजिए |                                                                                           

  हल -    सूत्र-   b 2   =  a c                                                                                                                                                    c =  b 2 /a  =     6 2 / 9 =36 /9 = 4                                                                                                                                                          

 अनुलोम समानुपात (Direct proportion):- जब दो राशियां X और Y इस प्रकार से संबन्धित हो कि जब X के बढ़ने पर दूसरी राशि Y में उसी अनुपात में वृद्धि होगी अथवा X घटने पर Y भी उसी अनुपात में कम होगा तो ये राशियां अनुलोम समानुपात कहलाती है | X /Y का मान दोनों स्थितियों में अचर होता है ,अनुलोम समानुपात का संबन्ध तीरो को एक ही दिशा में लगाकर   ( ⬇️) व्यक्त किया जाता है |                                                                  

 उदाहरण -एक रेलगाड़ी 2 घण्टे में 120 किमी दूरी तय करती है ,उसी चाल से वह 5 घण्टे में कितनी दूरी तय करेगी ?                                                                                                                                                                   

 हल -          समय (घण्टे ) --------------  दूरी( किमी )                                                                                                                 ( ⬇️)  2                                ( ⬇️) 120                                                                                                                                            5                                        X                                                                                                                       5 /2 =X  /120  ,X  =120x 5 /2 =300 किमी                                                                                                       नोट -जो ज्ञात करना है उस तरफ का तीर हमेशा नीचे रहेगा ,जो ज्ञात है उसमे यदि कम करने पर ज्ञात करने वाली संख्या कम होगी तो तीर हमेशा नीचे रहेगी | 

यदि दाम बढ़ेगा तो तीर हमेशा ऊपर की ओर रहेगी |                                          कम -   ( ⬇️)   ,अधिक -  ( ↑  )                           

प्रतिलोम समानुपात या विलोमानुपात(Inverse proportion ):- जब दो राशियां X और Y इस प्रकार से संम्बन्धित हो कि X किसी अनुपात में बदलने पर Y उसी के प्रतिलोम अनुपात में बदलती है तथा X x Y =K ,जहां K अचर हो तो वे राशियां प्रतिलोम समानुपात कहलाती है |प्रतिलोम समानुपात की दोनों राशियां को विपरीत( ⬇️)  ( ↑  )      दिशाओं में तीर को व्यक्त करते है |                                                                                     

उदाहरण -12 मजदूर एक दिवार को 10 दिन में बना सकते है ,उसी दिवार को 6 दिन में बनाने के लिए कितने मजदूरों की आवश्यकता होगी ?                                                                                                                

हल -माना मजदूरों की संख्या = X     है                                                                                                                   समय(दिन में )------               मजदूरों की संख्या                                                                                       ↑   10                                  12  ⬇️                                                        

                                                       6                                            X                                                                                                 X =12 x 10 /6 =20                                                                                            

परिक्षाओ में पूछे गये महत्वपूर्ण प्रश्नों एवं हल :-       

उदाहरण (1)  40 लीटर दूध में दूध और पानी का अनुपात 4 :1 है ,उसमे कितना पानी और मिलाया जाय की दूध और पानी का अनुपात 2 :3 जाय ?                                                                                                                                                        

 हल -       प्रश्नानुसार,   अनुपात का योग =4 +1 =5                                                                                                 पानी का अनुपात =40     x 1 /5 =8                                                                                                दूध का अनुपात =40 x4 /5 =32                                                                                                    माना X लीटर पानी मिलाया जाय =8 +X                                                                                                32 :8 +   X    =2 :3                                                                                                                         32 / 8 +   X    =   2 /3                                                                                                                      16 +2 X =96                                                                                                                                X =80 /2 =40  -उत्तर                                                                                                                                                            

 उदाहरण (2 )- यदि 8 आदमी और 12 औरत किसी कार्य को 25 दिन में कर सकते है तो 6 आदमी और 11 औरत उसी कार्य को कितने दिन में करेगे ?                                                                                                

                                                    

 हल -   प्रश्नानुसार                                                                                                                                       8 आदमी =12 औरत                                                                                              

1 आदमी =12 /8 =3 /2 ,     2 आदमी  =   2 x 3 /2 =3

   .                                                               

6 आदमी  =  3  x 3=9  औरत                                                                                                                            कुल औरत =9 +11 =20                                                                                                                                     औरत              -----       दिन                                                                                                                                                          ↑   12                            25 ⬇️                                                                                                                                                        20                                    X                                                                                                                              12 /20 =X /25                                                                                                                                                       X =25 x 12 /20 =15 -उत्तर                                                                                                                                                

उदाहरण (3)-यदि  3पुरुष  या 5 महिलाये किसी काम को 17 दिन में कर सकते है तो बताइए कि 7 पुरुष और 11 महिलाये उसी काम को कितने दिन में कर सकते है ?                                                                                         

हल        प्रश्नानुसार,    3पुरुष =5 महिलाये                                                                                                                                             1 पुरुष =5/3                                                                                                                                                      महिलाये =7 x 5 /3 =35 /3    ,          

   कुल  महिलाये =    35 /3 +11 /1 = 68 /3                                                                                                     महिलाये -------------- दिन                                                                                                                                                     ↑  5                           17   ⬇️                                                                                                                                                         68 /3                      X                                                                                                                                     5 /68 /3 =  X /17                                                                                                                                                              X=5 x 17 x 3 /68 =15 /3 =3 .7 5  दिन - उत्तर                                                                                          

उदाहरण (4 )-दो संख्याओं 5 और 8 के अनुपात में है यदि प्रत्येक में 12 जोड़ दिया जाय तो उनका अनुपात 3 और 4 हो जाता है प्रथम संख्या होगी |                                                                                                                                              

 हल -       प्रश्नानुसार, माना संख्या =5X ,8X                                                                                                                           5X+12 / 8X +12 =3 /4                                                                                                                                                   20X+48 =24X +36                                                                                                                                                 4X=12                                                                                                                                                        X =12 /4 =3                                                                                                                                                          प्रथम संख्या=5 x 3 =15 -उत्तर                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      

  उदाहरण (5 )- एक थैली में 1 रु ० ,50 पैसे तथा 25 पैसे के सिक्के 5 ,6 ,8 के अनुपात में है यदि थैली कुल  धन  या मूल्य 210 रु ० हो तो प्रत्येक प्रकार के सिक्कों की संख्या कितनी है ?                                                                                                                                                                                                                                       हल -       प्रश्नानुसार, दिए गये थैली मे रूपयो का अनुपात =1रु ०  :  50 0पैसे : 25 पैसे                                                                                                  सिक्को का अनुपात = 5        :    6        :     8                                                                                                     मूल्यों का अनुपात   = 5         :    3         :    2                                                                                                            

 ( नोट - 1 रु ० =1  सिक्के,  50 पैसे =  2 सिक्के,  25 पैसे=4  सिक्के )                                                                             

    मूल्यों का कुल योग = 5 +3 +2 =10                                                                                                              प्रत्येक प्रकार के सिक्को के मूल्य :- 1 रु ० का मूल्य =210 x 5 /10 =105 रु ०                                                                                                          50 पैसे का मूल्य =210 x 3  /10=  63  रु ०                                                                                                         25  पैसे का मूल्य =210 x 2   /10=  42   रु ०                                                                                     सिक्कों की संख्या -   1 रु ० सिक्कों संख्या =105 x 1 =105                                                                                                                        50 पैसे के सिक्कों संख्या=63 x 2 =126                                                                                                                     25 पैसे  के सिक्कों संख्या=42 x 4 =16-उत्तर                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

   निष्कर्ष :- 1 - अनुपात केवल (एक प्रकार भी राशियों )सजातीय राशियों में होता है  |                                                                    

2     -  अनुपात की कोई मात्रक (इकाई )नहीं होता है |                                                                                                    

3 -अनुपातों को अपने लघुत्तम रूप में व्यक्त किया जा सकता है |                                                                            

  4 -अनुपात को सरलतम रूप में लिखा जाता है |                                                                                                            

 5 -अनुपात में कोई पद शून्य नहीं होता है |                                                                                                                        

  6- अनुपात एक भिन्न है |                                                                                                                                                 

 7 -अनुपात  के दोनों पदों को किसी एक संख्या से  त में कुछअन्तर   नहीं पड़ता है |                                                                                                                                                                                                                             

8 -अनुपातसरल रूप में दशमलव में बदल सकते है  |                                                                                                

   9-  जीवन में अनुपात एवं समानुपात  का अनुप्रयोग बहुलता से किया जाता है जिससे मूल्य ,संख्याओं,वस्तुओ , सामग्रीय ,इत्यादि की जानकारी अनुपात और समानुपात द्वारा ज्ञात किया जाता है कि मूल्यों का बितरण सही -सही अनुपात या समानुपात में किया जा सके|