simple interest and compound interest ( साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज )

                                                                             

                                                                                                                                                                                          साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज  ( simple interest and compound  interest)                                          

     भूमिका :-  दैनिक जीवन में किसी व्यक्ति के  जीवन को अच्छी तरह से चलाने के लिए उधार के लेन -देन के बिना कार्य करना बहुत कठिन होता है | उधार के लेन -देन की प्रक्रिया बैंको ,सहकारी समितियों या किसी व्यक्ति ,दोस्त -मित्रों द्वारा की जाती है | उधार लेन -देन की कुछ शर्त होती है जिसे उधार देने वाला बैंक या व्यक्ति ,उधार लेने वाले व्यक्ति के सामने कुछ शर्त रखता है कि जिसके अन्तर्गत उधार देने वाला व्यक्ति उधार लेने वाले से वार्षिक ,छमाही ,तिमाही ,  मासिक की दर से प्रति 100 रूपये पर कुछ अधिक रुपया लेता  है उधार देने वाला व्यक्ति ,उधार देते समय दो प्रकार की शर्त रखता है | वह अपने धन पर दो प्रकार का अतिरिक्त धन लेना चाहता है अतिरिक्त धन दो प्रकार से लेना चाहता है     (1 ) साधारण ब्याज  (2 ) चक्र वृध्दि ब्याज                              साधारण ब्याज( simple interest) :-  किसी    निश्चित अवधि के लिए जमा की गई अथवा उधार ली गई धनराशि के अतिरिक्त धनराशि से कुछ और धन लिया जाता है अथवा दिया जाता है उसे साधारण ब्याज कहते है |                                                                                                                                                                मूलधन (principal ):-वह धन जो  किसी  व्यक्ति को उधार अथवा जमा की धनराशि को मूलधन कहते है |                                                                                                                                                                         ब्याज (interest ):-जमा की गई अथवा उधार ली गई धनराशि से जो अतिरिक्त धनराशि ली जाती है या दी जाती है उसे ब्याज कहते है |                                                                                                                                मिश्रधन (amount ):- वह धन राशि जो मूलधन और ब्याज मिलाकर मिलता है उसे मिश्रधन कहते है |                                                                  मिश्रधन =मूलधन +ब्याज                                                                                   समय (time ):-जितने दिन ,माह ,वर्ष के लिए रुपया उधार लिया या दिया जाता है वह ब्याज का समय कहलाता है  |                                                                                                                                                      प्रतिशत दर (percentage retes ):- यदि किसी धन पर प्रति 100 रूपये के वर्ष भर उपयोग में लाने के बदले जो रूपये दिया जाता या लिया जाता है उसे प्रतिशत दर कहा जाता है |                                                        नोट:-  (1 )  यदि समय दिनों में दिया है तो दो तिथियों के बीच गिनती में पहली तिथि छोड़ देते है |                         (2 )   साधारण ब्याज ज्ञात करने हेतु निन्न राशियों का ज्ञात होना चाहिए ,जिसमे मूलधन ,दर ,समय ज्ञात हो तो चौथी राशि ज्ञात की जा सकती है |                                                                                                               (3 )ब्याज की दर ,मासिक ,तिमाही ,छमाही एवं वार्षिक लगायी जाती है ,वह उधार देने अथवा लेने के समय निर्धारित कर ली जाती है |                                                                                                                                महत्व सूत्त ( Important formula):-                                                                                                                   (1 )  मिश्रधन =मूलधन + साधारण  ब्याज                                                                                                Amount =principal +simple interest                                                                                                  (2 )साधारण ब्याज =मूलधन x दर x समय /100    या                                                                                 साधारण ब्याज =मूलधन (दर x समय )%                                                                                                              (3 ) समय =साधारण ब्याज x 100 /मूलधन x दर                                                                                    Time =simple interest x 100 /principle x rates                                                                                         (4 )  दर=साधारण ब्याज x 100 /मूलधन x समय                                                                                         Rate =simple interest x 100 /principle x time                                                                                           (5 )       मूलधन =मिश्रधन x 100 /(दर x समय ) +100                                                                                            उदाहरण :  1200 रु 0 का 4 वर्ष का 6 %वार्षिक दर से साधारण ब्याज ज्ञात कीजिए |                                              हल - मूलधन =1200 रु 0 , दर = 6 %,समय = 4 वर्ष                                                                          साधारण ब्याज =1200 x 6 x 4 /100 =288 रु 0  उत्तर                                                                                     उदाहरण:   किसी धन का 21/5% वार्षिक ब्याज की दर से 2  का  साधारण ब्याज 121 रूपये हो जाता है धन ज्ञात कीजिए |                                                                                                                                                           हल -साधारण ब्याज =121 ,समय =2 वर्ष ,दर =21/5 %                                                                                       मूलधन =साधारण ब्याज x 100 /दर x समय                                                                                                  =121x 100 / 21/5 x2 =121 x 5 x 100 /11 x 2                                                                                                          =2750 रूपये- उत्तर                                                                                                                                    उदाहरण:-      यदि कोइ   धन 20 वर्ष में दुगुना हो जाता है तो 10 वर्ष में कितने गुना हो जायेगा ?                                            हल-  माना मूलधन =100 रु 0 है                                                                                                                     मिश्रधन =2 x 100 =200                                                                                                                    साधारण ब्याज =  200 -100 =100                                                                                                           दर =सा 0 ब्याज x 100 /मूलधन x समय =100 x 100 /100 x 20 =5 %                                                        मूलधन =100 रु 0 ,दर =5 %,समय =10 वर्ष                                                                                            साधारण ब्याज =  100 x 5 x 10 /100   =50 रु 0                                                                                       मिश्रधन =मूलधन +ब्याज =100 +50 =150  -डेढ़गुना -उत्तर                                                                [ Trick- T2= (N2 -1/N1-1)T1 ]                                                                                                                                                                                                                                                                                                           या     हल    T1 =20 वर्ष ,  T2 =10 वर्ष , N 1 = 2          T2/T1 =  N2-1/N 2 -1                                           20 /10 =N2-1 /2 या N2 = 1. 5 उत्तर                                                                                                                 उदाहरण :-यदि कोई धन 7 वर्ष में दुगुना हो जाता है  तो वह कितने वर्ष में छः गुना हो जायेगा ?                                हल -माना धन =100 रु 0 ,                                                                                                                        . ' . मिश्रधन =2x 100 =200                                                                                                                          साधारण व्याज =200 -100 =100 ,समय =7 वर्ष ,                                                                                         दर =100 x 100 /100 x 7 =100 /7                                                                                                            मूलधन =100 ,दर =100 /7                                                                                                                   मिश्रधन =6 x 100 =600,  व्याज =600 -100 =500 ,   समय =?                                                                         समय =500 x 100 /100 x 100 /7   =  35 वर्ष उत्तर                                                                                 { Trick         T2 =( 6 -1 /2 -1)x 7 =35 वर्ष }                                                                                       उदाहरण:- कितने प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से कोई धन 20 वर्ष में तीन गुना हो जाता है                                 हल - माना धन =100 , मिश्रधन =3 x 100 =300 ,                                                                                        साधारण ब्याज =300 -100 =200                                                                                                              दर =200 x 100 /100 x 20 =10 %उत्तर                                                                                                        {  Trick    दर% =( n -1 )x मूलधन /वर्ष  }          जहा n गुना  है                                                                      दर% =( 3 -1 ) x100 /20 =10 %उत्तर                                                                                                           उदाहरण :- कोई धन 8 वर्ष में दुगुना हो जाता है तो वह कितने समय में पांच गुना हो जायेगा ?                                हल -  [ Trick- T2= (N2 -1/N1-1)T1 ] या       { Trick   समय =(n -1 ) x गुना का समय }                     समय = (5 -1)x 8 = 4 x 8 =32  वर्ष उत्तर                                                                                                   दूसरी बिधि - T2 =( 5 -1/2 -1) 8 = 4 x 8 =32 वर्ष उत्तर                                                                           नोट:- यदि ब्याज की दर पैसा में दिया हो और समय मास में दिया हो तो सूत्र में 100 के स्थान पर 1 रखा जाता है,     सूत्र  -{ साधारण ब्याज =मूलधन x समय x दर /1 }                                                                                  उदाहरण :- 125 रु 0 का 4 पैसे प्रति रूपये प्रति मास साधारण ब्याज की दर से 8 मास का ब्याज ज्ञात कीजिए  |                                                                                                                                                                             हल - दर =4 पैसे /रूपये ,समय =8 मास ,मूलधन =125 रु 0                                                                              सा ब्याज =125 x 4 x 8 /1 =4000 /1 =4000 पैसा =40 . 00 रु 0 उत्तर                                                  उदाहरण :- यदि कोई धन प्रत्येक स्वयं का 1 /10 गुना बढ़ जाता है और बढ़कर 5 वर्ष के अंत में 600 रु 0 हो जाता है तो धन क्या होगा ?                                                                                                                                       हल-   समय  =5 वर्ष ,मिश्रधन =600 ,  दर =1 /10  x 100 =10 %                                                            Trick-   { मूलधन =100 xमिश्रधन / 100 +दर x समय   }                                                                                मूलधन =100 x 600/100 +5 x 10 =100 x 600 / 150 =  400   रु 0  उत्तर                                                         चक्र वृध्दि ब्याज( Compound  interest ):-  चक्र वृध्दि ब्याज वह ब्याज है जो उधार ली गई धनराशि जो एक निश्चित तिथि पर चुकता न करने पर ब्याज पर भी ब्याज देना पड़ता है उस ब्याज को चक्र वृध्दि ब्याज कहते है तथा इस प्रकार प्राप्त मिश्रधन को चक्र वृध्दि मिश्रधन कहते है |                                                                                    :- समान धनराशि ,समान समय और समान वार्षिक दर होने पर एक वर्ष के लिए साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज बराबर होते है |                                                                                                                                :-  चक्र वृध्दि ब्याज की गणना में पहले वर्ष का मिश्रधन दूसरे वर्ष का मूलधन होता है दूसरे वर्ष का मिश्रधन तीसरे वर्ष का मूलधन होता है  इस प्रकार आगे के वर्षो में किया जाता है |                                                                                       सूत्र -     चक्र वृध्दि ब्याज =चक्र वृध्दि मिश्रधन -मूलधन                                                                                               चक्र वृध्दि मिश्रधन =   चक्र वृध्दि ब्याज+ मूलधन                                                                                          मूलधन  =  चक्र वृध्दि मिश्रधन -  चक्र वृध्दि ब्याज                                                  उदाहरण :-500 रूपये का 4 %वार्षिक ब्याज की दर से 2 वर्ष का चक्र वृध्दि ब्याज ज्ञात कीजिए                              हल -पहले वर्ष का मूलधन =500 रु 0                                                                                                         पहले वर्ष का साधारण ब्याज =मू 0 x दर x समय /100 =500 x 4 x 1 /100 =20 रु 0                                                       पहले वर्ष के अन्त में मिश्रधन =500 +20 =520 रु 0                                                                             दूसरे वर्ष के मूलधन =520 रु 0                                                                                                             दूसरे वर्ष का सा 0 ब्याज =520 x 4 x 2 /100 =20. 8 रु 0                                                                                दूसरे वर्ष का मिश्रधन =520 +20. 8 =540. 8                                                                                                 2 वर्ष का चक्र वृध्दि ब्याज =540. 8 -500 =40. 8रु 0 उत्तर                                                                                                                  ऐकिक नियम द्वारा चक्र वृध्दि मिश्रधन एवं चक्र वृध्दि ब्याज ज्ञात करना :-                                                  सूत्र   -    {  चक्र वृध्दि मिश्रधन =P(1+1 /10)n    }   ,                                                                                       जहां P = मूलधन , n=वर्ष ,   वर्ष के अन्त में 1 रूपये का n वर्ष का चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात करने हेतु 1 रूपये का 1 वर्ष का चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात करके उस पर घात n लगाते है ,इसमें मूलधन की राशि से गुणा करके वांछित चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात कर लेते है  |                                                                                                                                 चक्र वृध्दि ब्याज =चक्र वृध्दि मिश्रधन -मूलधन                                                  उदाहरण :-8000रूपये का 5 %वार्षिक ब्याज की दर 2 वर्ष का चक्र वृध्दि ब्याज ऐकिक नियम से ज्ञात कीजिए |                                                                                                                                                                        हल-     मूलधन(p )= 8000 रु0 ,दर( r)     =5 %,   समय (n )=1 वर्ष                                                                    ∵100 रूपये का 1 वर्ष का ब्याज =5 रु 0

                                ∴ 1रूपये का 1 वर्ष का ब्याज =5 /100 =1/20                                                                                              ∴  1रूपये का 1 वर्ष का मिश्रधन  =(1 +1 /20 )=21 /20                                                                    ∴  1रूपये का 2  वर्ष का मिश्रधन  =(1 +1 /20 )2   = ( 21  /20 )2                                                       ∴  8000 रूपये का 2  वर्ष का चक्र वृध्दि  मिश्रधन  =  8000 (1 +1 /20 )2                                                                                                      = 8000 x21 /20 x 21 /20 =8820रु 0                                                                  चक्र वृध्दि ब्याज=8820 -8000 =820 रु 0 उत्तर                                                                                                                चक्र वृध्दि मिश्रधन का सूत्र तथा उनका अनुप्रयोग :-  (1 )यदि दर प्रति वर्ष दिया हो तो,                                              सूत्र -   चक्र वृध्दि मिश्रधन (A )=मूलधन(P)[1 + दर /100 )n                                                                                   चक्र वृध्दि ब्याज =P [  (1 +   r/100 )n -    1]                                                                                    उदाहरण :-  3000 रूपये का 10 %वार्षिक ब्याज की दर से  3वर्ष का चक्र वृध्दि ब्याज एवं मिश्रधन ज्ञात कीजिए |                                                                        =                                                                                       हल-    मूलधन =3000 रु 0 ,दर =10 % ,समय (n )=3 वर्ष                                                                               चक्र वृध्दि   मिश्रधन = 3000(1 +10/100 )3  =3000 ( 11 /10 )3 = 3000 x 11 /10 x 11 /10 x 11 /10 =3993 रु 0                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         चक्र वृध्दि ब्याज= 3993 -3000=993रु 0  -   उत्तर                                                                                        (2)      यदि ब्याज तिमाही देय हो तब चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात करना:-   यदि ब्याज की दर तिमाही हो तो दर चौथाई और समय चार गुना कर लेते है|   r =r /4 ,समय(n )=4 n                                                                               {   सूत्र -चक्र वृध्दि मिश्रधन = P (1 + r/4/ 100)4n  }                                                               उदाहरण:- 4000  रु 0 का 20 %तिमाही ब्याज की दर से 1 वर्ष का चक्र वृध्दि मिश्रधन एवं चक्र वृध्दि ब्याज ज्ञात कीजिए |                                                                                                                                                                        हल -मूलधन= 4000रु 0,r =20/4 =5 % ,n = 4 x 1 =4 वर्ष                                                                                 चक्र वृध्दि मिश्रधन=4000(1 +5 /100)4                                                                                                                    =4000 x 21 /20 x 21 /20 x 21 /20 x 21 /20=4862.025 रु 0 -उत्तर                                         चक्र वृध्दि ब्याज =4862.025 -4000 =862.025रु 0- उत्तर                                                                                                                                                                                                                                             (3 )  यदि ब्याज छमाही  देय हो तब चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात करना:-   यदि ब्याज की दर छमाही  हो तो दर आधा  और समय दुगुना   कर लेते है|   r =r /2  ,समय(n )=2  n                                                                                    {   सूत्र -चक्र वृध्दि मिश्रधन = P (1 + r/2 / 100)2n  }                            

             चक्र वृध्दि ब्याज =P [  (1 +   r/200  )2n   -    1]                                                                                              (4  )  यदि ब्याज नौमाही   देय हो तब चक्र वृध्दि मिश्रधन ज्ञात करना:-   यदि ब्याज की दर नौमाही  हो तो दर 3r /4   और समय 4n /3    कर लेते है|   r =3r /4   ,समय(n )=4  n/3                                                                 {   सूत्र -चक्र वृध्दि मिश्रधन = P (1 + 3r /4  / 100)4n/3    }                                                                             (5 )यदि ब्याज वार्षिक देय हो तो तथा पहले वर्ष r 1 % ,दूसरे वर्ष r 2  %,तथा ----इस प्रकार n वे वर्ष r n % हो तो :-                                                                                                                                                            चक्र वृध्दि  मिश्रधन =P(1 +r1/100 )(1 + r 2/100 )------- ( 1 + r n/100)                                                      (6 )जब साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज का अंतर् दिए हुए दर पर 3 वर्ष का अंतर् ज्ञात करना:-            Trick   -    अन्तर =P R2  ( 300 +R)/(100)3  

    उदाहरण:- 4000  रु 0 का 5 %वार्षिक दर से 3 वर्ष के साधारण ब्याज एवं चक्र वृध्दि ब्याज में अंतर् क्या होगा?                 हल-     अन्तर =P R2  ( 300 +R)/(100)3                                           

                                    =4000x25x 305 / 100 x 100 x 100 = 30.5 रु0- उत्तर        

  (7  )जब साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज का अंतर् दिए हुए दर पर 2  वर्ष का अंतर् ज्ञात करना:-            Trick   -    अन्तर =P   (R/(100)2                                                                                                      उदाहरण :-   400 रु 0 के 4 %की दर से 2 वर्ष के चक्र वृध्दि तथा साधारण ब्याज में अन्तर होगा ?                       हल -   साधारण ब्याज =400 x 4 x 2 /100 =32 रु 0                                                                                        चक्र वृध्दि ब्याज  =400 (1 +4 /100 )2  -400 =  400 x 26/25 x 26 /25 -400  =32. 64रु 0                               अंतर् = 32. 64 -32   =0. 64 रु 0 - उत्तर                                                                                                       (8 )    जब मिश्रधन और मूलधन दिया हो समय ज्ञात करना :-     सूत्र -    { A /P  = (1 +r/100)n  }              उदाहरण :-   कितने समय में 800 रु 0 का 10 %वार्षिक ब्याज की दर से चक्र वृध्दि ब्याज 168 रु 0 होगा ?           हल - P =800 रु 0 ,A =800 +168 =968                                                                                                         968 /800 =(1 +10 /100)n                                                                                                                                  ( 11 /10)2    =(11 /10)n                                                                                                                                     समय ( n)   = 2  वर्ष-उत्तर                                                                                                उदाहरण:-  कोई धन चक्र वृध्दि ब्याज की दर से 15 वर्ष में दोगुना हो जाता है कितने वर्ष में यह अपने से 8 गुना हो जायेगा?                                                                                                                                                           हल -   मानाधन = Y,   चक्र वृध्दि मिश्रधन=2 Y                                                                                             2 Y  =   Y(1 +r /100) 15      दो पाछो का घन करने पर                                                                                    8 = { (1 +r /100) 15 }3 ------------------   (1)                                                                                           मूलधन =Y,     चक्र वृध्दि मिश्रधन=8Y                                                                                                              8 = { (1 +r /100) n ------------------   (2 )                                                                                                समीकरण  1 और 2 का तुलना करने पर LS =LS ,RS =RS                                                                             ∴           (1 +r /100) 15 }3       =   { (1 +r /100) n                                                                                      समय(n )= 45वर्ष  -उत्तर                                                                                                                         निष्कर्ष :-   जीवन  को सरल ढ़ग से चलाने हेतु साधारण ब्याज और चक्र वृध्दि ब्याज का लेन -देन , बैंक लोन और अनेक प्रकार की योजनाओं में कितना ब्याज का लाभ -हानि की जानकारियां प्राप्त होती है |